Сплит-октавы

Если кокватернионы в некотором смысле аналогичны кватернионам, то возникает вопрос - есть ли такая алгебра, которая соотносится с октавами так же, как кокватернионы соотносятся с кватернионами? Да, есть, такая алгебра получила общеупотребимое название сплит-октавы. И какова она, попробуем разобраться.

Для образования сплит-октав проведем некоммутативное удвоение кокватернионов. Так же, как октавы получаются некоммутативным удвоением кватернионов. Обозначим дополнительную единицу $e_4$. И определим, что она умножается некоммутативно на единицы $i$, $j$, $k$: $$\begin{array}{c} ij=k=-ji \\ ie_4=e_5=-e_4i \\ je_4=e_6=-e_4j \\ ke_4=e_6=-e_4k \\ e_5k=e_6=-ke_5 \\ e_6i=e_7=-ie_7 \\ e_7j=e_5=-je_7 \end{array}$$ И, если исходный кокватернион имел вид $$x=x_0+Iix_1+Ijx_2+kx_3$$ то сплит-октава получается такой: $$x=x_0+Iix_1+Ijx_2+kx_3+e_4x_4+Ie_5x_5+Ie_6x_6+e_7x_7$$ Здесь единицы $i$, $j$, $k$, $e_4$, $e_5$, $e_6$ и $e_7$ некоммутативны по отношению друг к другу, а единица $I$ коммутирует со всеми и $$I^2=-1$$ Сплит-октавы также, как и октавы, неассоциативны, но альтернативны. Альтернативность сплит-октав определяется тем, что в них выполняются соотношения альтернативности: $$\begin{array}{c} (aa)b = a(ab) \\ (ab)a = a(ba) \\ (ba)a=b(aa) \end{array}$$ Если действительную часть сплит-октавы обозначить скалярной, а остальную векторной, то: $$x=x_s+x_v$$ Если есть две сплит-октавы $x$ и $y$, то в них части $x_s$ и $y_s$ коммутируют с остальными $x_v$ и $y_v$, поэтому условия альтернативности распространяются, вообще говоря, на их векторные части.

Для сплит-октав алгебраическое сопряжение задается линейной сменой знаков у мнимых компонент: $$\bar{x}=x_s-x_v=x_s+\bar{x}_v$$ Произведение сплит-октав на сопряженную ей: $$\begin{array}{c} (x_s+x_v)(x_s-x_v)= \\ =x_s^2+x_sx_v-x_sx_v-x_vx_v \end{array}$$ Само выражение $x_vx_v$ в силу того, что все входящие в него мнимые единицы антикоммутируют, есть просто сумма квадратов компонент с знаком в зависимости от величины квадрата соответствующей мнимой единицы.

И произведение сплит-октавы на сопряженную ей имеет вид: $$x\bar{x}=\bar{x}x=x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2+x_4^2-x_5^2-x_6^2+x_7^2$$ Соответственно, продолжая тему о суммах квадратов и проверив что $$(xy)(\overline{xy})=(xy)(\overline{y}\;\overline{x})$$ в силу альтернативности не зависит от расстановки скобок, должно быть равно $$(xy)(\overline{xy})=x(y\bar{y})\bar{x}=|x|^2|y|^2$$ Соответственно, получаем еще два утверждения в дополнение к списку сумм квадратов.

Квадрат модуля сплит-октавы мы можем представить как: $$(x_0^2+x_3^2+x_4^2+x_7^2)-(x_1^2+x_2^2+x_5^2+x_6^2)$$ Откуда получаем, что произведение разностей сумм четырех квадратов представимо разностью сумм четырех квадратов.

Также квадрат модуля сплит-октавы можем представить как: $$(x_0^2-x_1^2)+(x_3^2-x_2^2)+(x_4^2-x_6^2)+(x_7^2-x_5^2)$$ Откуда получаем, что произведение сумм четырех разностей квадратов представимо как сумма четырех разностей квадратов.