Поскольку бикомплексные числа являются подалгеброй бикватернионов, то, если в них есть 2 различных инварианта, то и в бикватернионах их должно быть 2.
Для доказательства найдем такую паручисел, для которых их 2. Для этого используем программу Maxima (система компьютерной алгебры), которой объясним как оперировать матричным представлением бикомплексных чисел:
makemat(x0,x1,x2,x3):=
matrix([x0,x1,-x2,-x3],
[x1,x0,x3,x2],
[x2,-x3,x0,-x1],
[x3,-x2,-x1,x0]);
Поскольку определитель матричного представления бикомплексных чисел дает полимодуль 4-го порядка, то для образования алгебраического сопряженния обратную величину умножим на корень из определителя:
Conj(x):=sqrt(determinant(x))*invert(x);В этом случае произведение величины на ей сопряженную дает действительное число, корень из полимодуля 4-го порядка, то есть квадрат модуля, если полимодуль 4-го порядка неотрицателен. Нас вполне устроят такие.
И, для образования скалярного произведения $$ S(x,y)=\mathrm{Re}(x\bar{y}) $$ дадим его определение:
Scl(x,y):=(x.Conj(y))[1,1];Зададим программе два числа:
A:makemat(1,2,3,0); B:makemat(1,-1,0,-1);И, задав вычислить их скалярное произведение, получим:
S1:Scl(A,B); S2:Scl(B,A);$$ \sqrt{5} $$ $$ -\sqrt{5} $$ То есть да, эти две формы скалярного произведения дают разные результаты. При этом они инвариантны относительно умножения сомножителей на числа с модулем 1.
То есть да, в алгебре бикомплексны чисел не одно и не четыре, а два скалярных произведения. И, соответственно, в бикватернионах их также два.
И, если есть две формы скалярного произведения $$ S(x,y)=\mathrm{Re}(x\bar{y}) $$ $$ S(x,y)=\mathrm{Re}(\bar{x}y) $$ то первая линейна по первому аргументу, а вторая по второму.
Трудно не заметить, что выбранные числа A и B дают не только различные значения для двух скалярных произведений, но и то, что эти значения с противоположными знаками. Конечно, можно найти среди бикомплексных чисел и пары, дающие значения с одинаковым знаком.
Различие знаков говорит, что по первому определению числа скорее сонаправлены, а по второму что скорее разнонаправлены. То есть можно сделать довольно важный вывод: если пара гиперкомплексных чисел допускает различные значения скалярных произведений с разными определениями, то для определения сонаправленности надо указывать, по какому определению это вычисляется.
Ссылки по теме:
Комментариев нет:
Отправить комментарий