Формы скалярного произведения

Если внимательно вчитываться в определение скалярного произведения, то может сложиться впечатление, что оно должно быть всегда и для всех алгебр комутативным по своим аргументам.

Если же внимательней вчитываться в определение скалярного произведения в Википедии, то там на тему коммутативности уже видна попытка вкрутить костыль. Так какие же бывают скалярные произведения? Попробуем разобраться.

Скалярное произведение гиперкомплексных чисел выводится как действительная часть произведения числа на алгебраически сопряженное второе число: $$ S(x,y)=Re(x\:\overline{y})) $$ Здесь ключевой элемент - это взаимное отношение $$ x\:\overline{y} $$ Для двух чисел $x$ и $y$, чтобы организовать взаимное отношение, мы должны взять в произведение одно из них как есть, а второе алгебраически сопряженным. Соответственно, рассматривая левое и правое отношения, мы можем получить всего 4 отношения: $$ 1)\ Re(x\:\overline{y}) $$ $$ 2)\ Re(\overline{x}\:y) $$ $$ 3)\ Re(\overline{y}\:x) $$ $$ 4)\ Re(y\:\overline{x}) $$ И других вариантов нет.

Соответственно, всего форм скалярного произведения может быть максимум 4.

Почему же мы зачастую видим лишь 1 вариант?

Варианты 1) и 3), а также варианты 2) и 4) равны между собой, если рассматривается коммутативная алгебра, либо если алгебра некоммутативная, но в ней выполняется правило $$ Re(ab)=Re(ba) $$ Варианты 1) и 4), а также 2) и 3) равны между собой, если выполняется $$ Re(\overline{a})=Re(a) $$ То есть, к примеру, если в алгебре существует лишь одно сопряжение, и оно же является алгебраическим (например, в комплексных числах).

По тем или иным причинам, в силу свойств произведения мнимых единиц, те или иные варианты становятся равными, либо становятся равными все, либо все варианты различны.

Например, для комплексных чисел и кватернионов остается лишь одна форма скалярного произведения, для бикомплексных чисел две, и для бикватернионов четыре.

При этом, рассматривая преобразование скалярного произведения при преобразовании чисел $$ x\rightarrow axb $$ видим, что все 4 формы инвариантны независимо друг от друга.

Следовательно, общая форма скалярного произведения, инвариантная относительно общего ортогонального преобразования, может быть выражена в виде линейной комбинации частных форм $$ \begin{array}{c} S(x,y)=\alpha_1 Re(x\:\overline{y}) + \alpha_2 Re(\overline{x}\:y) + \\ + \alpha_3 Re(\overline{y}\:x) + \alpha_4 Re(y\:\overline{x}) \end{array}$$ либо в виде иной какой-либо функции от аргументов - различных скалярных форм.

И в целом скалярные произведения могут быть описаны таким вектором $\alpha$.

В случае общеизвестных алгебр (комплексные числа или кватернионы) в этом векторе лишь один компонент. Но, вообще говоря, для произвольной алгебры их не более четырех.

И да, с чего начался разговор - в общем случае скалярное произведение не коммутативно, но в частных случаях может таковым быть, это не свойство самого скалярного произведения, а свойство соответствующей алгебры, в отношении которой оно рассматривается.