Занятное следствие ассоциативности

Казалось бы, если ассоциативность существует, то какие факты или свойства из этого могут быть выведены? Попробуем разобраться.

Под ассоциативностью понимается независимость результата двух произведений от порядка их вычисления: $$(ab)c=a(bc)$$ Мы можем сначала вычислить $ab$, а потом умножить справа на $c$, а можем вычислить $bc$ и умножить слева на $a$. И если алгебра ассоциативна, то в ней это свойство выполняется.

Теперь немного переобозначим то же самое: $$abc\rightarrow x\alpha \overline{y}$$ И это произведение рассмотрим дважды: $$(x\alpha)\overline{y}$$ $$x(\alpha\overline{y})$$ Здесь в первом случае стоит взаимное отношение $x\alpha$ и $\overline{y}$, а во втором случае взаимное отношение $x$ и $y\overline{\alpha}$, поскольку $$x(\alpha\overline{y})=x\overline{(y\overline{\alpha})}$$ Поскольку в гиперкомплексных алгебрах величины считаются равными если равны их компоненты, и наоборот, если компоненты равны то равны и величины, получаем следствие, что равны скалярное, псевдоскалярное и векторное произведения: $$S(x\alpha,y)=S(x,y\overline{\alpha})$$ $$S^*(x\alpha,y)=S^*(x,y\overline{\alpha})$$ $$[x\alpha,y]=[x,y\overline{\alpha}]$$ Здесь векторным произведением $[a,b]$ обозначено взятие аксиальной из векторной части произведения $a\overline{b}$.

Любопытно, что речь идет о произвольной величине $\alpha$, необязательно комплекснозначной скалярной.

И, если $\alpha$ - комплекснозначное число либо любое которое коммутирует по умножению с величинами $x$ и $y$, получаем более известное равенство: $$S(\alpha x,y)=S(x,\overline{\alpha}y)$$ Опять же, это свойство должно быть как у скалярного, так и у псевдоскаляного и векторного произведений.