Из самого существования распределительного закона умножения можно вывести довольно любопытное свойство скалярного произведения. Какое именно, попробуем разобраться.
Распределительный закон умножения есть следствие общего правила, что если два гиперкомплексных числа равны, то равны их компоненты и наоборот. Из этого следует правило:
$$
(a+b)\overline{c}=a\overline{c}+b\overline{c}
$$
Любопытно, что это правило верно и для некоммутативных по умножению алгебр, и для неассоциативных, и для тех у кого полимодуль выражается полиномом степени более 2.
С точки зрения скалярного произведения, равно как и псевдоскалярного и векторного, взятие отдельных компонент числа слева и справа равенства дает новое, также равенство. Или, если верно равенство
$$
(a+b)\overline{c}=a\overline{c}+b\overline{c}
$$
то должны быть равны и их действительные части. Следовательно, должно быть верно:
$$
S(a+b,c)=S(a,c)+S(b,c)
$$
То есть вне зависимости от вида алгебры и от того как выглядит для нее полимодуль, в любом случае скалярное произведение линейно по первому аргументу.
И точно также псевдоскалярное и векторное произведения в любой алгебре линейны по первому аргументу.
И, если наличие линейности по второму аргументу сильно зависит от используемой алгебры, то в отношении первого аргумента это правило верно для любой алгебры.
Комментариев нет:
Отправить комментарий