О двух скалярных инвариантахвозник вопрос взятия квадратного корня из полимодуля бикомплексного числа. Всегда ли он неотрицателен, попробуем разобраться. Далее, в силу громоздкости выражений, не будем выписывать их все вручную, а применим систему компьютерной алгебры Maxima.
Для того чтобы Maxima могла оперировать бикомплексными числами дадим ей определение как заменять их на матрицы, которыми она оперировать уже умеет.
makemat(x0,x1,x2,x3):= matrix([x0,x1,-x2,-x3], [x1,x0,x3,x2], [x2,-x3,x0,-x1], [x3,-x2,-x1,x0]);Операции с такими матрицами, сложение и умножение, соответствуют тем же операциям с бикомплексными числами с соответствующими коэффициентами.
Полимодулю (для бикомплексных чисел он четвертого порядка) соответствует определитель матрицы матричного представления. Для его задания заведем переменную аналитически и запросим определитель матрицы:
X:makemat(x0,x1,x2,x3); dX:determinant(X);Для того чтобы определить, бывает ли полимодуль отрицательным, используем известные нам данные. Первое - что для единицы полимодуль равен единице и значит положителен. Второе - что в случае когда число является делителем нуля, то есть $$ x=a\cdot(1+Ii) $$ или $$ x=a\cdot(1-Ii) $$ где $a$ неважно, то величина и значит полимодуль такого числа равны 0. И третье - что если в точках прохождения через ноль существует не равная 0 хотя бы одна из частных производных $$ \frac{\partial}{\partial x_i} $$ то это означает что полимодуль переходит из положительной области через ноль в отрицательную (или обратно).
Запросим у системы Maxima все интересующие нас частные производные:
gra(X):=matrix([diff(X,x0)], [diff(X,x1)],[diff(X,x2)], [diff(X,x3)]);И запросим вычисление частных производных для нашего полимодуля:
fX:gra(dX);Для формиорвания произвольного бикомплексного числа-делителя нуля запросим произведение некоего числа на делитель нуля:
A:makemat(a0,a1,a2,a3); Z:makemat(1,1,0,0);Таким образом, задавая значение A, можем получить все множество точек делителей нуля:
P:A.Z;И дял определения значения производной в точке зададим вычислить её:
V:(fX),x0=P[1,1],x1=P[1,2], x2=P[1,3],x3=P[1,4];И для того чтобы сократить приведя подобные зададим упрощение выражения:
ratsimp(V);И, вне зависимости от значения числа A (его коэффициентов) мы получаем в результате строго нули.
Проверим то же самое для парного делителя нуля:
Z:makemat(1,-1,0,0);Таким образом, во всех точках прохождения полимодуля через 0 производные полимодуля нулевые. Следовательно, полимодуль бикомплексного числа всегда неотрицательная величина.
Мы исследовали лишь бикомплексные числа. Казалось бы, паракомплексные числа вида $$ q=q_0+iq_1 $$ где $i^2=1$ имеют отрицательнй полимодуль, и при этом являются подалгеброй бикомплексных чисел, но вот в бикомплексных числах полимодуль уже неотрицателен.
Приведенное рассцждение с определением, может ли полином принять отрицательное значение, строилось напрямую. То есть от имеющейся формы полимодуля.
Но есть и более короткое доказательство. Но оно использует непрямое рассуждение и идет не от полинома, а от коммутативности мнимых единиц бикомплексных чисел.
Если в образовании чисел участвуют две мнимых единицы $i$ и $I$, то для числа $x$ введем два сопряжения: $x^{(i)}$ если у всех компонентов с участием мнимой единицы $i$ меняются знаки $$ x^{(i)}=x_0-Iix_1+Ix_2-ix_3 $$ и $x^{(I)}$ если меняем знаки у компонент с участием единицы $I$: $$ x^{(I)}=x_0-Iix_1-Ix_2+ix_3 $$ В этом случае произведение $$ xx^{(i)} $$ есть произведение на сопряженное по $i$ и в результате образуется комплексное число с единицей $I$. Его умножим на сопряденное ему по единице $I$ и получим действительное число. В результате таких произведений $$ \left(xx^{(i)}\right)\left(xx^{(i)}\right)^{(I)} $$ получаем квадрат модуля комплексного числа $xx^{(i)}$ ,а он всегда неотрицателен. Так вот ранее проведенное исследование показало, что он и равен полимодулю.
Доказательство получается более коротких, но использует неочевидный ход рассуждений. Ссылки по теме:
Комментариев нет:
Отправить комментарий