В третьей части исследования мы нашли, что собственные числа бикватернионов могут быть представлены в виде произведения делителя нуля на кватернион. Но именно это самое слово "могут" и оставляет ощущение незавершенности. А насколько полна эта информация, как еще они могут быть представлены? Попробуем разобраться.
Снова вернемся к изначальной формулировке и рассмотрим собственные числа мнимой единицы $Ii$:
$$
IiX=\lambda X
$$
Раскрыв это уравнение и приравняв левую и правую часть покомпонентно, получим 4 системы уравнений:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1=\lambda x_0 \\
x_0=\lambda x_1
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_7=\lambda x_2 \\
-x_2=\lambda x_7
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_6=\lambda x_3 \\
x_3=\lambda x_6
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_5=\lambda x_4 \\
-x_4=\lambda x_5
\end{array}
\right.
$$
И таких четверок две, по числу собственных значений
$$
\begin{array}{c}
\lambda = 1 \\
\lambda = -1
\end{array}
$$
Для того, чтобы существовало нетривиальное решение уравнения
$$
(Ii-\lambda)X=0
$$
сама величина $X$ должна допускать разложение на произведение
$$
X=X'X''
$$
где $X'$ - делитель нуля, сопряженный к величине
$$
Ii-\lambda
$$
Соответственно, в случае $\lambda=1$ величина $X'$ должна быть
$$
X'=1+Ii
$$
и в случае $\lambda=-1$ должна быть
$$
X'=1-Ii
$$
Хотя, если нагнать строгости, то скорее так:
$$
\begin{array}{cc}
\lambda = 1 & X'=\pm(1+Ii) \\
\lambda = -1 & X'=\pm(1-Ii) \\
\end{array}
$$
Вопрос в том, как вносить возможный $\pm 1$ - в значение $X'$ или в значение $X''$.
Зная по номеру индекса $x_i$, к которой из мнимых единиц $X$ этот коэффициент относится, мы можем представить величину $X$ покомпонентно, и так, чтобы слева в произведении
$$
X=X'X''
$$
стоял нужный делитель нуля
$$
\begin{array}{c}
x_0+Iix_1=(1+Ii)a' \\
Ijx_2-kx_7=(1+Ii)e_bb' \\
Ikx_3+jx_6=(1+Ii)e_cc' \\
Ix_4-ix_5=(1+Ii)e_dd'
\end{array}
$$
здесь через $e_b$, $e_c$, $e_d$ обозначены мнимые единицы, при умножении на которые делителя нуля $(1+Ii)$ получаем значение слева при учете соответствующего нормировочного коэффициента a, b, c, d.
В третьей части было показано, что при комбинации
$$
\begin{array}{c}
e_b=-k \\
e_c=j \\
e_d=-i
\end{array}
$$
эта система уравнений верна и выражение
$$
X=(1+Ii)X''
$$
приводит к тому, что значения $X''$ являются кватернионами.
Теперь рассмотрим другие варианты $e_b$, $e_c$, $e_d$. Начнем с того, что часть уравнений мы можем не рассматривать, приравняв значения $b$ и $c$ нулю, поскольку они могут быть любыми, в том числе и нулевыми. В этом случае для коэффициента $e_d$ также верно сочетание:
$$
\begin{array}{c}
x_0+Iix_1=(1+Ii)a' \\
Ix_4-ix_5=(1+Ii)Id'
\end{array}
$$
В этом случае собственное число $X$ представимо в виде произведения
$$
X^+=(1+Ii)(a'+Id')
$$
Здесь в правой части - уже умножение не на кватернион, а на комплексное число с мнимой единицей $I$.
Таким образом, произведение делителя нуля на кватернион уже не является единственным разложением. Отыскивая решение для случая $\lambda=-1$, получаем:
$$
\begin{array}{c}
x_0-Iix_1=(1-Ii)a'' \\
Ix_4+ix_5=(1-Ii)Id''
\end{array}
$$
Здесь использовалась, соответственно, вторая система из 4-х уравнений.
Таким образом, для собственного значения $\lambda=-1$ собственное число $X$ также представимо в виде произведения делителя нуля на комплексное число:
$$
X^-=(1-Ii)(a''+Id'')
$$
Продолжим поиск вариантов разложения собственного числа $X$ на произведение делителя нуля и некоторой части бикватерниона ,и это вариант, приводящий к бикомплексным числам, а именно:
$$
\begin{array}{c}
x_0+Iix_1=(1+Ii)a' \\
Ijx_2-kx_7=(1+Ii)(-k)b' \\
Ikx_3+jx_6=(1+Ii)(Ik)c' \\
Ix_4-ix_5=(1+Ii)Id'
\end{array}
$$
Здесь бикомплексным числом является сомножитель справа
$$
X^+=(1+Ii)(a'-kb'+Ikc'+Id')
$$
И для случая $\lambda=-1$ ответная часть $X$ может быть выражена используя вторую систему уравнений:
$$
x_0-Iix_1=(1-Ii)a'' \\
Ijx_2+kx_7=(1-Ii)kb'' \\
Ikx_3-jx_6=(1-Ii)(Ik)c'' \\
Ix_4+ix_5=(1-Ii)Id''
$$
Соответственно, собственное число в этом случае представимо как:
$$
X^-=(1-Ii)(a''+kb''+Ikc''+Id'')
$$
Продолжим поиск вариантов разложения собственного числа $X$ на произведение делителя нуля и некоторой части бикватерниона, и это вариант, приводящий к кокватернионам. А именно, в случае собственного значения $\lambda = 1$ возможно разложение:
$$
\begin{array}{c}
x_0+Iix_1=(1+Ii)a' \\
Ijx_2-kx_7=(1+Ii)Ijb' \\
Ikx_3+jx_6=(1+Ii)Ikc' \\
Ix_4-ix_5=(1+Ii)(-i)d'
\end{array}
$$
Здесь кокватернионом является сомножитель справа:
$$
X^+=(1+Ii)(a'+Ijb'+Ikc'-id')
$$
И для случая $\lambda = -1$ ответная часть $X$ может быть выражена используя вторую систему уравнений:
$$
\begin{array}{c}
x_0-Iix_1=(1-Ii)a'' \\
Ijx_2+kx_7=(1-Ii)Ijb'' \\
Ikx_3-jx_6=(1-Ii)Ikc'' \\
Ix_4+ix_5=(1-Ii)id''
\end{array}
$$
Соответственно, собственное число в этом случае представимо как:
$$
X^-=(1-Ii)(a''+Ijb''+Ikc''+id'')
$$
Сократив до 2-х уравнений, оставив первое и второе, получим для $\lambda =1$:
$$
x_0+Iix_1=(1+Ii)a' \\
Ijx_2-kx_7=(1+Ii)Ijb'
$$
Здесь правым сомножителем получается число алгебры паракомплексных чисел:
$$
X^+=(1+Ii)(a'+Ijb')
$$
Для случая $\lambda =-1$ имеем:
$$
\begin{array}{c}
x_0-Iix_1=(1-Ii)a'' \\
Ijx_1+kx_7=(1-Ii)Ijb''
\end{array}
$$
Соответственно, собственное число разложимо как произведение:
$$
X^-=(1-Ii)(a''+Ijb'')
$$
И, наконец, самый простой вариант - это приравнивание нулю коэффициентов b, c, d и отбрасывание 3-х уравнений из 4-х. В этом случае для собственного значения $\lambda = 1$ имеем:
$$
x_0+Iix_1=(1+Ii)a'
$$
и собственное число $X$ представимо в виде произведения
$$
X^+=(1+Ii)a'
$$
и для собственного значения $\lambda = -1$ имеем:
$$
x_0-Iix_1=(1-Ii)a''
$$
и, соответственно, собственное число
$$
X^-=(1-Ii)a''
$$
Итого, методом перебора возможных разложений $X$ получаем, что $X$ представимо в виде
$$
\begin{array}{c}
X^+=(1+Ii)X^+{}'' \\
X^-=(1-Ii)X^-{}''
\end{array}
$$
где значения $X^+{}''$ и $X^-{}''$ имеют значения коэффициентов не только в зависимости от собственного числа $\lambda$ и исходных коэффициентов $x_i$, но и в зависимости от того, в какой из алгебр ищется решение. Это либо алгебра действительных чисел, либо алгебра комплексных чисел, либо алгебра бикомплексных чисел, либо алгебра паракомплексных чисел, либо алгебра кватернионов, либо алгебра кокватернионов. Это все подалгебры алгебры бикватернионов и они имеют размерность равную или меньше чем 4.
Хотя само значение $X^+$ и $X^-$ одно и то же и определяется набором коэффициентов a, b, c, d, оно допускает различное разложение на множители из-за свойств делителей нуля.
Собственные числа бикватернионов, часть 1
Собственные числа бикватернионов, часть 2
Собственные числа бикватернионов, часть 3
Комментариев нет:
Отправить комментарий