Собственные числа бикватернионов, часть 1

Если для матриц существует такое понятие, как собственные значения и собственные векторы, то каков их аналог для бикватернионов? Попробуем разобраться.

У матрицы $A$ есть собственное число $\lambda$ (их может быть несколько) и собственный вектор (по числу собственных чисел) $X$ такие, что выполняется уравнение: $$AX_i=\lambda_iX_i$$ при этом $\lambda$ - действительное число и справа не подразумевается суммирование.

Положим, что мы ищем аналог для бикватернионов. В этом случае у нас нет векторов, но есть действительное число и гиперкомплексное число, поэтому аналог собственного вектора назовем собственным числом.

Положим, что действительное число $\lambda$ и гиперкомплексное число $X$ являются собственным значением и собственным числом мнимой единицы бикватерниона $e_i$: $$e_iX = \lambda X$$ здесь единица $e_i$ - одна из набора мнимых единиц бикватернионов $$\begin{array}{ccccccc} Ii & Ij & Ik & I & i & j & k \end{array}$$ Перенесем правую часть влево: $$(e_i-\lambda)X=0$$ Поскольку мы ищем нетривиальный случай $$X\neq 0$$ то автоматически имеем условие что два ненулевых гиперкомплексных числа в произведении дают 0.

Это в случае бикватернионов возможно лишь в том случае, если величина $$e_i-\lambda$$ является делителем нуля и число $X$ разложимо на произведение двух чисел: $$X=X'X''$$ таким способом, что величина $X'$ является сопряженной к делителю нуля $$e_i-\lambda$$ или $$X'=-e_i-\lambda$$ Из всех мнимых единиц бикватернионов единицы из набора $$\begin{array}{cccc} I & i & j & k \end{array}$$ должны быть отброшены, поскольку в сумме с действительным числом они образуют комплексное число, для которого не существует делителей нуля.

И мы не можем отбросить лишь мнимые единицы из набора $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ поскольку для них существует сложение с действительным числом, дающее делитель нуля.

В силу симметрии будем рассматривать мнимую единицу $Ii$. Пусть искомое собственное число $X$ задается: $$X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7$$ Раскроем покомпонентно произведение $$IiX=\lambda X$$ $$\begin{array}{c} Iix_0+x_1-kx_2+jx_3-ix_4-Ix_5+Ikx_6-Ijx_7 = \\ \lambda x_0+ \lambda Iix_1+ \lambda Ijx_2+ \lambda Ikx_3+ \lambda Ix_4+ \lambda ix_5+ \lambda jx_6+ \lambda kx_7 \end{array}$$ Используем алгебраическое правило равенства двух гиперкомплексных чисел когда равны их компоненты при одинаковых мнимых единицах. Получим систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} x_1 = \lambda x_0 \\ x_0 = \lambda x_1 \\ -x_7 = \lambda x_2 \\ x_6 = \lambda x_3 \\ -x_5 = \lambda x_4 \\ -x_4 = \lambda x_5 \\ x_3 = \lambda x_6 \\ -x_2 = \lambda x_7 \\ \end{array} \right.$$ Используем первую пару уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} x_1 = \lambda x_0 \\ x_0 = \lambda x_1 \\ \end{array} \right.$$ Выполнив подстановку во второе уравнение значения $x_1$ из первого, получаем: $$x_0=\lambda^2x_0$$ Решением этого уравнения относительно величины $\lambda$ будут два значения: $$\begin{array}{c} \lambda = 1 \\ \lambda = -1 \end{array}$$ Соответственно, подставляя эти значения в первое уравнение пары, получим два варианта: $$\begin{array}{rl} \lambda = 1: & x_0 = x_1 \\ \lambda = -1: & x_0 = -x_1 \end{array}$$ Остальные уравнения образуют пары с теми же соотношениями $$\left\{ \begin{array}{c} -x_7 = \lambda x_2 \\ -x_2 = \lambda x_7 \\ \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} x_6 = \lambda x_3 \\ x_3 = \lambda x_6 \\ \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -x_5 = \lambda x_4 \\ -x_4 = \lambda x_5 \\ \end{array} \right.$$ При этом мы должны помнить, что во всех этих уравнениях фигурирует одно и то же действительное число $\lambda$, принимающее значения из множества $$\left\{ \begin{array}{cc} +1 & -1 \end{array} \right\}$$ Поскольку полученные 4 системы из двух уравнений содержат уравнения, линейно независимые каждое от уравнений других систем, мы должны иметь соответственно их числу 4 независимые величины a, b, c, d, нормирующие значения $x_i$: $$\left\{ \begin{array}{c} a x_1=\lambda a x_0 \\ a x_0=\lambda a x_1 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -b x_7=\lambda b x_2 \\ -b x_2=\lambda b x_7 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} c x_6=\lambda c x_3 \\ c x_3=\lambda c x_6 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -d x_5=\lambda d x_4 \\ -d x_4=\lambda d x_5 \end{array} \right.$$ При этом величины a, b, c, d могут быть и равны 0 независимо друг от друга.

Рассмотрим отдельно случай ,когда из коэффициентов a, b, c, и d не равны 0 лишь коэффициент a. В этом случае при выборе собственного значения $$\lambda = 1$$ получаем: $$Iia(1+Ii)=a(1+Ii)$$ и при выборе собственного значения $$\lambda = -1$$ получаем: $$Iia(1-Ii)=-a(1-Ii)$$ Если у нас в качестве собственного числа $X$ используется в данном случае лишь сумма компонент при единицах 1 и $Ii$, мы можем внести собственные значения $\lambda$ в набор коэффициентов a, b, c, d так, что удвоим его: $$\begin{array}{cccccccc} a' & a'' & b' & b'' & c' & c'' & d' & d'' \end{array}$$ При этом удвоении выбираем нормирование таким образом, чтобы $$a'(1+Ii) + a''(1-Ii)=x_0+Iix_1$$ или $$\left\{ \begin{array}{c} a'+a''=x_0 \\ a'-a''=x_1 \end{array} \right.$$ решением является система уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} a'=\frac{x_0+x_1}{2} \\ a''=\frac{x_0-x_1}{2} \end{array}\right.$$ В этих обозначениях собственный вектор $X$ (который пока рассматриваем как двумерный вектор по единицам 1 и $Ii$) может быть представлен другой парой чисел $$\left( \begin{array}{cc} a' & a'' \end{array} \right)$$ таким образом, что $$\begin{array}{c} Ii a' = a' \\ Ii a'' = -a'' \end{array}$$ Точно такие же операции мы можем выполнить и для чисел b, c, d и выразить их через компоненты числа $X$. В результате получим замену собственного числа мнимой единицы $Ii$: $$Ii \left( \begin{array}{cc} a' & a'' \\ b' & b'' \\ c' & c'' \\ d' & d'' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a' & -a'' \\ b' & -b'' \\ c' & -c'' \\ d' & -d'' \\ \end{array} \right)$$ Здесь нужно помнить, что числа a, b, c, d по строкам независимы друг от друга (от чисел другой строки), но внутри строки зависимы, поскольку значения $n'$ и $n''$ выражаются линейно от одной и той же пары коэффициентов числа $X$.

Продолжим нахождение собственных значений и собственных чисел, но уже не для единицы $Ii$, а для единицы $Ij$. Раскрыв уравнение $$Ij X = \lambda X$$ и приравняв компоненты при одинаковых мнимых единицах, получим также 4 независимые друг от друга системы уравнений, сгруппированных иначе чем те же уравнения для единицы $Ii$: $$\left\{ \begin{array}{c} x_2=\lambda x_0 \\ x_0=\lambda x_2 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} x_7=\lambda x_1 \\ x_1=\lambda x_7 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -x_5=\lambda x_3 \\ -x_3=\lambda x_5 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -x_6=\lambda x_4 \\ -x_4=\lambda x_6 \end{array} \right.$$ И для единицы $Ij$ мы также можем выделить 8 чисел a, b, c, d но уже отличающиеся от тех же чисел для единицы $Ii$. Поэтому переобозначим полученные ранее числа a, b, c, d так, чтобы они относились к первой единице: $$Ii \left( \begin{array}{cc} a_1' & a_1'' \\ b_1' & b_1'' \\ c_1' & c_1'' \\ d_1' & d_1'' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_1' & -a_1'' \\ b_1' & -b_1'' \\ c_1' & -c_1'' \\ d_1' & -d_1'' \\ \end{array} \right)$$ Для второй единицы $Ij$ коэффициенты $a_2'$ и $a_2''$ выражаются уже иначе, чем $a_1'$ и $a_1''$: $$\left\{ \begin{array}{c} a_1'=\frac{x_0+x_1}{2} \\ a_1''=\frac{x_0-x_1}{2} \\ \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} a_2'=\frac{x_0+x_2}{2} \\ a_2''=\frac{x_0-x_2}{2} \\ \end{array} \right.$$ Аналогично мы можем выразить и остальные коэффициенты $b_2$, $c_2$? $d_2$. Таким образом, что для второй единицы $Ii$ выполняются условия: $$Ij \left( \begin{array}{cc} a_2' & a_2'' \\ b_2' & b_2'' \\ c_2' & c_2'' \\ d_2' & d_2'' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_2' & -a_2'' \\ b_2' & -b_2'' \\ c_2' & -c_2'' \\ d_2' & -d_2'' \\ \end{array} \right)$$ Продолжим нахождение собственных значений и собственных чисел для мнимой единицы $Ik$, раскрыв уравнение $$IkX=\lambda X$$ и приравняв комоненты при одинаковых мнимых единицах.

В результате получим также 4 независимые друг от друга системы уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} x_3=\lambda x_0 \\ x_0=\lambda x_3 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -x_6=\lambda x_1 \\ -x_1=\lambda x_6 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} x_5=\lambda x_2 \\ x_2=\lambda x_5 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -x_7=\lambda x_4 \\ -x_4=\lambda x_7 \end{array} \right.$$ И для единицы $Ik$ мы также можем выделить 8 чисел a, b, c, d, но выражающиеся иначе чем те же числа для единиц $Ii$ и $Ij$: $$Ik \left( \begin{array}{cc} a_3' & a_3'' \\ b_3' & b_3'' \\ c_3' & c_3'' \\ d_3' & d_3'' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_3' & -a_3'' \\ b_3' & -b_3'' \\ c_3' & -c_3'' \\ d_3' & -d_3'' \\ \end{array} \right)$$ Например, числа $a_3'$ и $a_3''$ выражаются через коэффициенты $X$: $$\left\{ \begin{array}{c} a_3'=\frac{x_0+x_3}{2} \\ a_3''=\frac{x_0-x_3}{2} \end{array} \right.$$ Аналогично, и другие числа $b_3$, $c_3$. $d_3$ выражаются через коэффициенты числа $X$ иначе, чем числа $b_1$, $b_2$, $c_1$, $c_2$, $d_1$, $d_2$.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что для мнимых единиц бикватернионов, хотя и не для всех, мы можем использовать аналог величин собственных значений и собственных векторов, но в виде собственных значений и собственного числа. При этом при фиксации мнимой единицы и собственного значения собственное число разбивается на 4 независимых друг от друга величины a, b, c, d.

А в целом получаем комплекс $$e_i \left( \begin{array}{cc} a_i' & a_i'' \\ b_i' & b_i'' \\ c_i' & c_i'' \\ d_i' & d_i'' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_i' & -a_i'' \\ b_i' & -b_i'' \\ c_i' & -c_i'' \\ d_i' & -d_i'' \\ \end{array} \right)$$ где разбиение числа $X$ на компоненты $a_i$, $b_i$, $c_i$, $d_i$ зависит от выбранной единицы $e_i$. И внутри каждой пары $n_i'$ зависит от $n_i''$, поскольку они выражаются линейно через одни и те же коэффициенты числа $X$.

Мы рассматривали в качестве выбранной алгебры алгебру бикватернионов. Если же выбирать иную алгебру и искать в ней собственные числа при действительных собственных значениях, то мы обязательно должны рассматривать лишь алгебры, содержащие, во-первых, делители нуля и, во-вторых, эти делители нуля должны включать действительную компоненту.

Теперь немного поднимем градус и обратим внимание на то, что в бикватернионах два числа a и b можно умножать как в одном порядке, так и в другом: $$ab$$ $$ba$$ В случае отыскания собственных чисел мы для полноты картины должны поинтересоваться и вторым вариантом умножения. Для того чтобы отыскать собственные числа для этих двух случаев, обозначим их соответственно месту в произведении как правое и левое собственное числа: $$aX_R = \lambda_RX_R$$ $$X_La=\lambda_LX_L$$ Поскольку мы ищем собственные числа для мнимых единиц $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ то используем операцию, переставляющую множители местами; это векторное сопряжение.

Векторное сопряжение $\overline{X}$ определено как смена знаков у мнимых единиц, в образовании которых участвуют векторные единицы $$\begin{array}{ccc} i & j & k \end{array}$$ Если есть бикватернион $$X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7$$ то векторно сопряженным ему будет бикватернион $$\overline{X}=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3+Ix_4-ix_5-jx_6-kx_7$$ Векторное сопряжение произведения бикватернионов имеет свойство: $$\overline{x\cdot y}=\overline{x}\cdot \overline{y}$$ Также используем скалярное сопряжение. Скалярное сопряжение $X^*$ определено как смена знаков у мнимых единиц, в образовании которых участвует единица $I$: $$X^*=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3-Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7$$ Скалярное сопряжение произведения имеет свойство: $$(xy)^*=x^*y^*$$ Таким образом, для мнимых единиц $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ выполняется равенство: $$\overline{e_i}^*=e_i$$ И, если число $a$ является такой единицей, то $$\overline{a}^*=a$$ Рассмотрим скалярно-векторное сопряжение произведения $$(\overline{X_La})^*=\lambda_L\overline{X}_L^*$$ $$\overline{a}^*\overline{X}_L^*=\lambda_L\overline{X}_L^*$$ $$a\overline{X}_L^*=\lambda_L\overline{X}_L^*$$ Сравнив с выражением для правого собственного числа $$aX_R=\lambda_RX_R$$ Получаем решение: $$\left\{ \begin{array}{c} \lambda_L=\lambda_R \\ X_L=\overline{X}_R^* \end{array} \right.$$ Или собственное левое число мнимой единицы бикватерниона равно скалярно-векторно сопряженному числу той же единицы.

Собственные числа бикватернионов, часть 2
Собственные числа бикватернионов, часть 3
Собственные числа бикватернионов, часть 4