Если для матриц существует такое понятие, как собственные значения и собственные векторы, то каков их аналог для бикватернионов? Попробуем разобраться.
У матрицы $A$ есть собственное число $\lambda$ (их может быть несколько) и собственный вектор (по числу собственных чисел) $X$ такие, что выполняется уравнение:
$$
AX_i=\lambda_iX_i
$$
при этом $\lambda$ - действительное число и справа не подразумевается суммирование.
Положим, что мы ищем аналог для бикватернионов. В этом случае у нас нет векторов, но есть действительное число и гиперкомплексное число, поэтому аналог собственного вектора назовем собственным числом.
Положим, что действительное число $\lambda$ и гиперкомплексное число $X$ являются собственным значением и собственным числом мнимой единицы бикватерниона $e_i$:
$$
e_iX = \lambda X
$$
здесь единица $e_i$ - одна из набора мнимых единиц бикватернионов
$$
\begin{array}{ccccccc}
Ii & Ij & Ik & I & i & j & k
\end{array}
$$
Перенесем правую часть влево:
$$
(e_i-\lambda)X=0
$$
Поскольку мы ищем нетривиальный случай
$$
X\neq 0
$$
то автоматически имеем условие что два ненулевых гиперкомплексных числа в произведении дают 0.
Это в случае бикватернионов возможно лишь в том случае, если величина
$$
e_i-\lambda
$$
является делителем нуля и число $X$ разложимо на произведение двух чисел:
$$
X=X'X''
$$
таким способом, что величина $X'$ является сопряженной к делителю нуля
$$
e_i-\lambda
$$
или
$$
X'=-e_i-\lambda
$$
Из всех мнимых единиц бикватернионов единицы из набора
$$
\begin{array}{cccc}
I & i & j & k
\end{array}
$$
должны быть отброшены, поскольку в сумме с действительным числом они образуют комплексное число, для которого не существует делителей нуля.
И мы не можем отбросить лишь мнимые единицы из набора
$$
\begin{array}{ccc}
Ii & Ij & Ik
\end{array}
$$
поскольку для них существует сложение с действительным числом, дающее делитель нуля.
В силу симметрии будем рассматривать мнимую единицу $Ii$. Пусть искомое собственное число $X$ задается:
$$
X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7
$$
Раскроем покомпонентно произведение
$$
IiX=\lambda X
$$
$$
\begin{array}{c}
Iix_0+x_1-kx_2+jx_3-ix_4-Ix_5+Ikx_6-Ijx_7 = \\
\lambda x_0+ \lambda Iix_1+ \lambda Ijx_2+ \lambda Ikx_3+
\lambda Ix_4+ \lambda ix_5+ \lambda jx_6+ \lambda kx_7
\end{array}
$$
Используем алгебраическое правило равенства двух гиперкомплексных чисел когда равны их компоненты при одинаковых мнимых единицах. Получим систему уравнений:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = \lambda x_0 \\
x_0 = \lambda x_1 \\
-x_7 = \lambda x_2 \\
x_6 = \lambda x_3 \\
-x_5 = \lambda x_4 \\
-x_4 = \lambda x_5 \\
x_3 = \lambda x_6 \\
-x_2 = \lambda x_7 \\
\end{array}
\right.
$$
Используем первую пару уравнений:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = \lambda x_0 \\
x_0 = \lambda x_1 \\
\end{array}
\right.
$$
Выполнив подстановку во второе уравнение значения $x_1$ из первого, получаем:
$$
x_0=\lambda^2x_0
$$
Решением этого уравнения относительно величины $\lambda$ будут два значения:
$$
\begin{array}{c}
\lambda = 1 \\
\lambda = -1
\end{array}
$$
Соответственно, подставляя эти значения в первое уравнение пары, получим два варианта:
$$
\begin{array}{rl}
\lambda = 1: & x_0 = x_1 \\
\lambda = -1: & x_0 = -x_1
\end{array}
$$
Остальные уравнения образуют пары с теми же соотношениями
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_7 = \lambda x_2 \\
-x_2 = \lambda x_7 \\
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_6 = \lambda x_3 \\
x_3 = \lambda x_6 \\
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_5 = \lambda x_4 \\
-x_4 = \lambda x_5 \\
\end{array}
\right.
$$
При этом мы должны помнить, что во всех этих уравнениях фигурирует одно и то же действительное число $\lambda$, принимающее значения из множества
$$
\left\{
\begin{array}{cc}
+1 & -1
\end{array}
\right\}
$$
Поскольку полученные 4 системы из двух уравнений содержат уравнения, линейно независимые каждое от уравнений других систем, мы должны иметь соответственно их числу 4 независимые величины a, b, c, d, нормирующие значения $x_i$:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
a x_1=\lambda a x_0 \\
a x_0=\lambda a x_1
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-b x_7=\lambda b x_2 \\
-b x_2=\lambda b x_7
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
c x_6=\lambda c x_3 \\
c x_3=\lambda c x_6
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-d x_5=\lambda d x_4 \\
-d x_4=\lambda d x_5
\end{array}
\right.
$$
При этом величины a, b, c, d могут быть и равны 0 независимо друг от друга.
Рассмотрим отдельно случай ,когда из коэффициентов a, b, c, и d не равны 0 лишь коэффициент a.
В этом случае при выборе собственного значения
$$
\lambda = 1
$$
получаем:
$$
Iia(1+Ii)=a(1+Ii)
$$
и при выборе собственного значения
$$
\lambda = -1
$$
получаем:
$$
Iia(1-Ii)=-a(1-Ii)
$$
Если у нас в качестве собственного числа $X$ используется в данном случае лишь сумма компонент при единицах 1 и $Ii$, мы можем внести собственные значения $\lambda$ в набор коэффициентов a, b, c, d так, что удвоим его:
$$
\begin{array}{cccccccc}
a' & a'' & b' & b'' & c' & c'' & d' & d''
\end{array}
$$
При этом удвоении выбираем нормирование таким образом, чтобы
$$
a'(1+Ii) + a''(1-Ii)=x_0+Iix_1
$$
или
$$
\left\{
\begin{array}{c}
a'+a''=x_0 \\
a'-a''=x_1
\end{array}
\right.
$$
решением является система уравнений:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
a'=\frac{x_0+x_1}{2} \\
a''=\frac{x_0-x_1}{2}
\end{array}\right.
$$
В этих обозначениях собственный вектор $X$ (который пока рассматриваем как двумерный вектор по единицам 1 и $Ii$) может быть представлен другой парой чисел
$$
\left(
\begin{array}{cc}
a' & a''
\end{array}
\right)
$$
таким образом, что
$$
\begin{array}{c}
Ii a' = a' \\
Ii a'' = -a''
\end{array}
$$
Точно такие же операции мы можем выполнить и для чисел b, c, d и выразить их через компоненты числа $X$. В результате получим замену собственного числа мнимой единицы $Ii$:
$$
Ii
\left(
\begin{array}{cc}
a' & a'' \\
b' & b'' \\
c' & c'' \\
d' & d'' \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a' & -a'' \\
b' & -b'' \\
c' & -c'' \\
d' & -d'' \\
\end{array}
\right)
$$
Здесь нужно помнить, что числа a, b, c, d по строкам независимы друг от друга (от чисел другой строки), но внутри строки зависимы, поскольку значения $n'$ и $n''$ выражаются линейно от одной и той же пары коэффициентов числа $X$.
Продолжим нахождение собственных значений и собственных чисел, но уже не для единицы $Ii$, а для единицы $Ij$. Раскрыв уравнение
$$
Ij X = \lambda X
$$
и приравняв компоненты при одинаковых мнимых единицах, получим также 4 независимые друг от друга системы уравнений, сгруппированных иначе чем те же уравнения для единицы $Ii$:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_2=\lambda x_0 \\
x_0=\lambda x_2
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_7=\lambda x_1 \\
x_1=\lambda x_7
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_5=\lambda x_3 \\
-x_3=\lambda x_5
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_6=\lambda x_4 \\
-x_4=\lambda x_6
\end{array}
\right.
$$
И для единицы $Ij$ мы также можем выделить 8 чисел a, b, c, d но уже отличающиеся от тех же чисел для единицы $Ii$. Поэтому переобозначим полученные ранее числа a, b, c, d так, чтобы они относились к первой единице:
$$
Ii
\left(
\begin{array}{cc}
a_1' & a_1'' \\
b_1' & b_1'' \\
c_1' & c_1'' \\
d_1' & d_1'' \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a_1' & -a_1'' \\
b_1' & -b_1'' \\
c_1' & -c_1'' \\
d_1' & -d_1'' \\
\end{array}
\right)
$$
Для второй единицы $Ij$ коэффициенты $a_2'$ и $a_2''$ выражаются уже иначе, чем $a_1'$ и $a_1''$:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
a_1'=\frac{x_0+x_1}{2} \\
a_1''=\frac{x_0-x_1}{2} \\
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
a_2'=\frac{x_0+x_2}{2} \\
a_2''=\frac{x_0-x_2}{2} \\
\end{array}
\right.
$$
Аналогично мы можем выразить и остальные коэффициенты $b_2$, $c_2$? $d_2$. Таким образом, что для второй единицы $Ii$ выполняются условия:
$$
Ij
\left(
\begin{array}{cc}
a_2' & a_2'' \\
b_2' & b_2'' \\
c_2' & c_2'' \\
d_2' & d_2'' \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a_2' & -a_2'' \\
b_2' & -b_2'' \\
c_2' & -c_2'' \\
d_2' & -d_2'' \\
\end{array}
\right)
$$
Продолжим нахождение собственных значений и собственных чисел для мнимой единицы $Ik$, раскрыв уравнение
$$
IkX=\lambda X
$$
и приравняв комоненты при одинаковых мнимых единицах.
В результате получим также 4 независимые друг от друга системы уравнений:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_3=\lambda x_0 \\
x_0=\lambda x_3
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_6=\lambda x_1 \\
-x_1=\lambda x_6
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_5=\lambda x_2 \\
x_2=\lambda x_5
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_7=\lambda x_4 \\
-x_4=\lambda x_7
\end{array}
\right.
$$
И для единицы $Ik$ мы также можем выделить 8 чисел a, b, c, d, но выражающиеся иначе чем те же числа для единиц $Ii$ и $Ij$:
$$
Ik
\left(
\begin{array}{cc}
a_3' & a_3'' \\
b_3' & b_3'' \\
c_3' & c_3'' \\
d_3' & d_3'' \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a_3' & -a_3'' \\
b_3' & -b_3'' \\
c_3' & -c_3'' \\
d_3' & -d_3'' \\
\end{array}
\right)
$$
Например, числа $a_3'$ и $a_3''$ выражаются через коэффициенты $X$:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
a_3'=\frac{x_0+x_3}{2} \\
a_3''=\frac{x_0-x_3}{2}
\end{array}
\right.
$$
Аналогично, и другие числа $b_3$, $c_3$. $d_3$ выражаются через коэффициенты числа $X$ иначе, чем числа $b_1$, $b_2$, $c_1$, $c_2$, $d_1$, $d_2$.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что для мнимых единиц бикватернионов, хотя и не для всех, мы можем использовать аналог величин собственных значений и собственных векторов, но в виде собственных значений и собственного числа. При этом при фиксации мнимой единицы и собственного значения собственное число разбивается на 4 независимых друг от друга величины a, b, c, d.
А в целом получаем комплекс
$$
e_i
\left(
\begin{array}{cc}
a_i' & a_i'' \\
b_i' & b_i'' \\
c_i' & c_i'' \\
d_i' & d_i'' \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a_i' & -a_i'' \\
b_i' & -b_i'' \\
c_i' & -c_i'' \\
d_i' & -d_i'' \\
\end{array}
\right)
$$
где разбиение числа $X$ на компоненты $a_i$, $b_i$, $c_i$, $d_i$ зависит от выбранной единицы $e_i$. И внутри каждой пары $n_i'$ зависит от $n_i''$, поскольку они выражаются линейно через одни и те же коэффициенты числа $X$.
Мы рассматривали в качестве выбранной алгебры алгебру бикватернионов. Если же выбирать иную алгебру и искать в ней собственные числа при действительных собственных значениях, то мы обязательно должны рассматривать лишь алгебры, содержащие, во-первых, делители нуля и, во-вторых, эти делители нуля должны включать действительную компоненту.
Теперь немного поднимем градус и обратим внимание на то, что в бикватернионах два числа a и b можно умножать как в одном порядке, так и в другом:
$$
ab
$$
$$
ba
$$
В случае отыскания собственных чисел мы для полноты картины должны поинтересоваться и вторым вариантом умножения. Для того чтобы отыскать собственные числа для этих двух случаев, обозначим их соответственно месту в произведении как правое и левое собственное числа:
$$
aX_R = \lambda_RX_R
$$
$$
X_La=\lambda_LX_L
$$
Поскольку мы ищем собственные числа для мнимых единиц
$$
\begin{array}{ccc}
Ii & Ij & Ik
\end{array}
$$
то используем операцию, переставляющую множители местами; это векторное сопряжение.
Векторное сопряжение $\overline{X}$ определено как смена знаков у мнимых единиц, в образовании которых участвуют векторные единицы
$$
\begin{array}{ccc}
i & j & k
\end{array}
$$
Если есть бикватернион
$$
X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7
$$
то векторно сопряженным ему будет бикватернион
$$
\overline{X}=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3+Ix_4-ix_5-jx_6-kx_7
$$
Векторное сопряжение произведения бикватернионов имеет свойство:
$$
\overline{x\cdot y}=\overline{x}\cdot \overline{y}
$$
Также используем скалярное сопряжение. Скалярное сопряжение $X^*$ определено как смена знаков у мнимых единиц, в образовании которых участвует единица $I$:
$$
X^*=x_0-Iix_1-Ijx_2-Ikx_3-Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7
$$
Скалярное сопряжение произведения имеет свойство:
$$
(xy)^*=x^*y^*
$$
Таким образом, для мнимых единиц
$$
\begin{array}{ccc}
Ii & Ij & Ik
\end{array}
$$
выполняется равенство:
$$
\overline{e_i}^*=e_i
$$
И, если число $a$ является такой единицей, то
$$
\overline{a}^*=a
$$
Рассмотрим скалярно-векторное сопряжение произведения
$$
(\overline{X_La})^*=\lambda_L\overline{X}_L^*
$$
$$
\overline{a}^*\overline{X}_L^*=\lambda_L\overline{X}_L^*
$$
$$
a\overline{X}_L^*=\lambda_L\overline{X}_L^*
$$
Сравнив с выражением для правого собственного числа
$$
aX_R=\lambda_RX_R
$$
Получаем решение:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\lambda_L=\lambda_R \\
X_L=\overline{X}_R^*
\end{array}
\right.
$$
Или собственное левое число мнимой единицы бикватерниона равно скалярно-векторно сопряженному числу той же единицы.
Собственные числа бикватернионов, часть 2
Собственные числа бикватернионов, часть 3
Собственные числа бикватернионов, часть 4
Комментариев нет:
Отправить комментарий