После различного варьирования задачи на собственные числа и собственные значения бикватернионов немного не выясненным остается вопрос: а как же именно выглядят собственные числа бикватернионов, чему они равны? Попробуем разобраться.
Для этого вернемся к исходному пункту и для упрощения задачи рассмотрим собственные числа мнимой единицы $Ii$:
$$
IiX = \lambda X
$$
Раскрывая это уравнение и присваивая обе части покомпонентно, получаем 4 системы уравнений:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = \lambda x_0 \\
x_0 = \lambda x_1
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_7 = \lambda x_2 \\
-x_2 = \lambda x_7
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_6 = \lambda x_3 \\
x_3 = \lambda x_6
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{c}
-x_5 = \lambda x_4 \\
-x_4 = \lambda x_5
\end{array}
\right.
$$
эти 4 системы уравнений объединены одними и теми же значениями собственного значения $\lambda$:
$$
\begin{array}{c}
\lambda=+1 \\
\lambda=-1
\end{array}
$$
Соответственно, для первого решения при $\lambda=1$ имеем перевод в нормировочные коэффициенты:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1=x_0=a' \\
x_2=-x_7=b' \\
x_3=x_6=c' \\
x_4=-x_5=d'
\end{array}
\right.
$$
и для второго решения при $\lambda=-1$ имеем соответственно:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1=-x_0=a'' \\
x_2=x_7=b'' \\
x_3=-x_6=c'' \\
x_4=x_5=d''
\end{array}
\right.
$$
При этом сами коэффициенты a, b, c, d могут иметь произвольные значения независимо друг от друга, в том числе и нулевые.
Кроме того, в первой части исследования собственных чисел было показано, что для существования нетривиального решения урвнения
$$
IiX=\lambda X
$$
величина $X$ должна допускать разложение на произведение
$$
X=X'X''
$$
где $X'$ - делитель нуля, сопряженный к величине
$$
Ii-1
$$
для случая $\lambda=1$ и сопряженной к величине
$$
Ii+1
$$
для случая $\lambda=-1$.
Соответственно, в первом случае величина $X'$ должна быть
$$
1+Ii
$$
и во втором случае
$$
1-Ii
$$
Теперь рассмотрим внимательно полученные 4 системы уравнений, из которых получены 2 системы по 4 уравнения, означивающие коэффициенты a, b, c, d.
Зная по номеру индекса $x_i$, к которой из мнимых единиц $X$ этот коэффициент относится, мы можем предствить величину $X$ покомпонентно и так, чтобы слева в произведении стоял нужный делитель нуля:
$$
\begin{array}{c}
x_0+Iix_1=(1+Ii)a' \\
Ijx_2-kx_7=(1+Ii)(-k)b' \\
Ikx_3+jx_6=(1+Ii)jc' \\
Ix_4-ix_5=(1+Ii)(-i)d'
\end{array}
$$
Таким образом, для собственного значения $\lambda=1$ собственное число $X$ раскладывается на произведение:
$$
X=(1+Ii)(a'-jd'+jc'-kb')
$$
Здесь слева стоит делитель нуля, а справа - обычный кватернион с 4-мя независимыми друг от друга коэффициентами.
То же самое отыскание разложения на множители можем сделать для случая собственного значения $\lambda=-1$ и используя вторую систему из 4-х уравнений:
$$
\begin{array}{c}
x_0-Iix_1=(1-Ii)a'' \\
Ijx_2+kx_7=(1-Ii)kb'' \\
Ikx_3-jx_6=(1-Ii)(-j)c'' \\
Ix_4+ix_5=(1-Ii)id''
\end{array}
$$
Таким образом, для собственного значения $\lambda=-1$ собственное число $X$ раскладывается на произведение:
$$
X=(1-Ii)(a''+id''-jc''+kb'')
$$
Здесь слева в произведении стоит делитель нуля, а справа - также как и в первом случае кватернион с 4-мя независимыми коэффициентами.
Если обозначить через $X^+$ собственное число при собственном значении $\lambda=1$ и через $X^-$ собственное число при собственном значении $\lambda=-1$ то получим:
$$
\begin{array}{c}
X^+=(1+Ii)q' \\
X^-=(1-Ii)q'' \\
q'=a'-jd'+jc'-kb' \\
q'' = a''+id''-jc''+kb''
\end{array}
$$
Вообще говоря, здесь шла речь о правых собственных числах:
$$
\begin{array}{c}
IiX_R=\lambda_RX_R \\
X_R^+=(1+Ii)q' \\
X_R^-=(1-Ii)q''
\end{array}
$$
Соответственно, левые собственные числа
$$
X_LIi=\lambda_LX_L
$$
выражаются через правые:
$$
X_L=\overline{X}_R^*
$$
$$
\begin{array}{c}
X_L^+=\overline{q}'(1+Ii) \\
X_L^-=\overline{q}''(1-Ii)
\end{array}
$$
Вот, собственно говоря, примерно так выглядят собственные числа бикватернионов.
Собственные числа бикватернионов, часть 1
Собственные числа бикватернионов, часть 2
Собственные числа бикватернионов, часть 4
Комментариев нет:
Отправить комментарий