Собственные числа бикватернионов, часть 2

После первой части о собственных числах бикватернионов немного приподнимем градус и поварьируем задачу. Что, если в качестве мнимой единицы, одной из $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ рассматриваются другие, скажем, некая обобщающая единица $$I(\alpha i+\beta j + \gamma k)$$ с условием единичности $$\sqrt{\alpha^2+\beta^2 + \gamma^2}=1$$ Для любого единичного вектора такого вида мы можем составить уравнение поворота (3-мерного в общем случае), переводящего одну из исходных орт в заданный вектор: $$I(\alpha i+\beta j + \gamma k)=e^{\varphi/2}Iie^{-\varphi/2}$$ Вообще говоря, таких вращений для любой орты $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ бесконечно много, годится любой вектор лежащий в плоскости, равноудаленной от исходного и конечного векторов, а в качестве величины угла величина $\varphi$ вычисляется уже в зависимости от своего направления.

Можно также получить вектор вращения как единственный оптимальный. Пусть вектор $a$ есть единичный, для определенности один из набора $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ и вектор $b$ также есть единичный $$b=I(\alpha i+\beta j + \gamma k)$$ $$\sqrt{\alpha^2+\beta^2 + \gamma^2}=1$$ В этом случае мы можем получить вектор $b$ преобразованием из вектора $a$: $$b=ba^{-1}a$$ или $$b=aa^{-1}b$$ Поскольку вектора $a$ и $b$ единичные, то для них верно $$\begin{array}{c} \overline{a}=a^{-1} \\ \overline{b}=b^{-1} \end{array}$$ Здесь оператор $$ba^{-1}$$ есть левый оператор вращения от $a$ к $b$, а оператор $$a^{-1}b$$ есть правый оператор вращения от $a$ к $b$. Эти операторы не являются операторами преобразования системы координат, поскольку при применении к векторам, ориентированным отлично от $a$, дают не вращение.

Но, используя $b$ и $a$, мы можем получить оператор вращения. Поскольку исходный вектор $a$ чисто мнимый и целевой вектор $b$ чисто мнимый, имеем: $$a^{-1}=\overline{a}=-a$$ $$a=a_V$$ $$b_V(-a_V)=(b_V,a_V)+[b_V,a_V]$$ здесь в скалярную часть входит скалярное произведение единичных векторов, а в векторную - их векторное произведение. Раскроем это выражение: $$b_V(-a_V)=|b||a|\left(cos(\varphi)+sin(\varphi)c_V\right)$$ где $c_V$ - единичный вектор направленный перпендикулярно к $a_V$ и $b_V$. $$b_V(-a_V)=e^{\varphi c_V}$$ Итого, для любых двух единичных векторов $a$ и $b$ мы можем получить левый оператор вращения $$ba^{-1}=e^{\varphi}$$ такой, что $\varphi$ есть угол между векторами $b$ и $a$ (от вектора $a$ к вектору $b$). Соответственно, по нему, взяв корень, можем получить общее преобразование вращения $$b=e^{\varphi/2}ae^{-\varphi/2}$$ $$b=\sqrt{ba^{-1}}a\sqrt{ba^{-1}}^{-1}$$ Теперь вернемся к собственным числам и вместо орты, одной из единиц из набора $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ рассмотрим произвольно направленный единичный вектор $$I(\alpha i+\beta j + \gamma k)$$ $$\sqrt{\alpha^2+\beta^2 + \gamma^2}=1$$ Положим, что вместо орты $a$ мы используем повернутую орту $$a\rightarrow e^{\varphi/2}ae^{-\varphi/2}$$ и вместо собственного значения $X$ также подставим повернутое значение $X$ $$X\rightarrow e^{\varphi/2}Xe^{-\varphi/2}$$ В этом случае исходное уравнение для собственных чисел $$aX=\lambda X$$ превращается в $$e^{\varphi/2}ae^{-\varphi/2}e^{\varphi/2}X_ae^{-\varphi/2}= \lambda_ae^{\varphi/2}X_ae^{-\varphi/2}$$ Но, поскольку первая часть равна $b$: $$e^{\varphi/2}ae^{-\varphi/2}=b$$ то получаем: $$be^{\varphi/2}X_ae^{-\varphi/2}=\lambda_ae^{\varphi/2}X_ae^{-\varphi/2}$$ и сравним с выражением $$bX_b=\lambda_bX_b$$ получаем что для произвольного единичного $b$ $$b=I(\alpha i+\beta j + \gamma k)$$ $$\sqrt{\alpha^2+\beta^2 + \gamma^2}=1$$ мы можем получить собственное число $X_b$ и собственное значение $\lambda_b$ $$\lambda_b=\lambda_a$$ $$X_b=e^{\varphi/2}X_ae^{-\varphi/2}$$ То есть все выводимые в первой части собственные числа орт $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ можно было не выводить, а получить путем вращения из собственного числа для произвольно направленного единичного векторного бикватерниона.

Необычность ситуации состоит в том, что все собственные числа есть вращения некоего одного, но для какого именно вектора - не важно.

Теперь еще немного приподнимем градус и поварьируем задачу. Что, если собственное число $X$ ищется для бикватерниона $a$, у которого есть не только полярная векторная часть, но и ненулевая скалярная?

А именно, исходный бикватернион $$a=a_0+I(\alpha i+\beta j + \gamma k)=a_0+a_V$$ где $$\sqrt{\alpha^2+\beta^2 + \gamma^2}=1$$ Пусть мы ищем для такого бикватерниона собственное число: $$(a_0+a_V)X_a=\lambda_aX_a$$ Перенеся правую часть влево, получим: $$(a_0-\lambda_a+a_V)X_a=0$$ При нулевом $a_0$ уравнение имело бы вид: $$(-\lambda_a+a_V)X_a=0$$ Таким образом, добавление скалярной составляющей $a_0$ приводит к тому же собственномы числу $X$ $$X\rightarrow X$$ но изменяет (уменьшает, поскольку прибавляется со сзаком минус) собственное значение $\lambda$: $$\lambda\rightarrow\lambda-a_0$$ Таким образом, из исходных собственного значения $\lambda$ и собственного числа $X$ для одной из орт $$\begin{array}{ccc} Ii & Ij & Ik \end{array}$$ мы можем получить и собственное значение и собственное число для исходного числа вида: $$a_0+I(\alpha i+\beta j + \gamma k)$$ Здесь на коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ накладываются требования единичности: $$\sqrt{\alpha^2+\beta^2 + \gamma^2}=1$$ Еще немного приподнимем градус и посмотрим, существуют ли собственное значение и собственное число для бикватерниона, имеющего и ненулевую скалярную часть и неединичную векторную часть: $$\begin{array}{c} a=a_0+Iia_1 \\ a_0\neq 0 \\ a_1\neq 1 \end{array}$$ Раскроем покомпонентно произведение: $$(a_0+Iia_1)X=\lambda X$$ $$\begin{array}{c} a_0x_0+Iia_0x_1+Ija_0x_2+Ika_0x_3+ \\ +Ia_0x_4+ia_0x_5+ja_0x_6+ka_0x_7 + \\ +Iia_1x_0+a_1x_1-ka_1x_2+ja_1x_3- \\ -ia_1x_4-Ia_1x_5+Ika_1x_6-Ija_1x_7 = \\ = \lambda x_0+\lambda Iix_1+\lambda Ijx_2 + \lambda Ikx_3 +\\ +\lambda Ix_4 + \lambda ix_5 + \lambda jx_6 + \lambda kx_7 \end{array}$$ Поскольку два гиперкомплексных числа считаются равными покомпонентно, получаем систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} a_0x_0+a_1x_1=\lambda x_0 \\ a_0x_1+a_1x_0=\lambda x_1 \\ a_0x_2-a_1x_7=\lambda x_2 \\ a_0x_3+a_1x_6=\lambda x_3 \\ a_0x_4-a_1x_5=\lambda x_4 \\ a_0x_5-a_1x_4=\lambda x_5 \\ a_0x_6+a_1x_3=\lambda x_6 \\ a_0x_7-a_1x_2=\lambda x_7 \end{array} \right.$$ Используем первую пару уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} a_0x_0+a_1x_1=\lambda x_0 \\ a_0x_1+a_1x_0=\lambda x_1 \end{array} \right.$$ Преобразуем второе из них: $$(a_0-\lambda)x_1=-a_1x_0$$ $$x_0=x_1\frac{a_0-\lambda}{-a_1}$$ подставим в первое уравнение приведенное к виду: $$(a_0-\lambda)x_0=-a_1x_1$$ получим уравнение в квадратах: $$\frac{(a_0-\lambda)^2x_1}{-a_1}=-a_1x_1$$ Чтобы уравнение было верным, необходимо чтобы выполнялось: $$(a_0-\lambda)^2=a_1^2$$ Соответственно, раскрыв квадраты, получаем: $$a_0-\lambda=\pm a_1$$ $$\lambda=a_0\pm a_1$$ Подставляя в вышенайденное равенство первый вариант ответа, получаем: $$x_0=x_1\frac{a_0-(a_0+a_1)}{-a_1}$$ откуда следует первое решение: $$x_0=x_1$$ Подставляя второй вариант, получаем: $$x_0=x_1\frac{a_0-(a_0-a_1)}{-a_1}$$ откуда следует второе решение $$x_0=-x_1$$ Можем сравнить найденные решения с решениями из первой части: $$\begin{array}{cc} \lambda=1 & x_0=x_1 \\ \lambda=-1 & x_0=-x_1 \end{array}$$ В первой части использовался вариант нулевой скалярной части $a_0$ и единичной векторной части $a_1$. В случае же если они соответственно не нулевые и не единичные, имеем: $$\begin{array}{cc} \lambda=a_0+a_1 & x_0=x_1 \\ \lambda=a_0-a_1 & x_0=-x_1 \end{array}$$ В этом случае собственные числа остаются теми же, меняются лишь собственные значения. И, поскольку меняются лишь собственные значения, для собственных чисел остаются те же соотношения для нормирующих независимых значений a, b, c, d.

Собственные числа бикватернионов, часть 1
Собственные числа бикватернионов, часть 3
Собственные числа бикватернионов, часть 4