Processing math: 100%

среда, 6 января 2021 г.

Собственные числа бикватернионов, часть 3

После различного варьирования задачи на собственные числа и собственные значения бикватернионов немного не выясненным остается вопрос: а как же именно выглядят собственные числа бикватернионов, чему они равны? Попробуем разобраться.

Для этого вернемся к исходному пункту и для упрощения задачи рассмотрим собственные числа мнимой единицы Ii: IiX=λX Раскрывая это уравнение и присваивая обе части покомпонентно, получаем 4 системы уравнений: {x1=λx0x0=λx1 {x7=λx2x2=λx7 {x6=λx3x3=λx6 {x5=λx4x4=λx5 эти 4 системы уравнений объединены одними и теми же значениями собственного значения λ: λ=+1λ=1 Соответственно, для первого решения при λ=1 имеем перевод в нормировочные коэффициенты: {x1=x0=ax2=x7=bx3=x6=cx4=x5=d и для второго решения при λ=1 имеем соответственно: {x1=x0=ax2=x7=bx3=x6=cx4=x5=d При этом сами коэффициенты a, b, c, d могут иметь произвольные значения независимо друг от друга, в том числе и нулевые.

Кроме того, в первой части исследования собственных чисел было показано, что для существования нетривиального решения урвнения IiX=λX величина X должна допускать разложение на произведение X=XX где X - делитель нуля, сопряженный к величине Ii1 для случая λ=1 и сопряженной к величине Ii+1 для случая λ=1.

Соответственно, в первом случае величина X должна быть 1+Ii и во втором случае 1Ii Теперь рассмотрим внимательно полученные 4 системы уравнений, из которых получены 2 системы по 4 уравнения, означивающие коэффициенты a, b, c, d.

Зная по номеру индекса xi, к которой из мнимых единиц X этот коэффициент относится, мы можем предствить величину X покомпонентно и так, чтобы слева в произведении стоял нужный делитель нуля: x0+Iix1=(1+Ii)aIjx2kx7=(1+Ii)(k)bIkx3+jx6=(1+Ii)jcIx4ix5=(1+Ii)(i)d Таким образом, для собственного значения λ=1 собственное число X раскладывается на произведение: X=(1+Ii)(ajd+jckb) Здесь слева стоит делитель нуля, а справа - обычный кватернион с 4-мя независимыми друг от друга коэффициентами.

То же самое отыскание разложения на множители можем сделать для случая собственного значения λ=1 и используя вторую систему из 4-х уравнений: x0Iix1=(1Ii)aIjx2+kx7=(1Ii)kbIkx3jx6=(1Ii)(j)cIx4+ix5=(1Ii)id Таким образом, для собственного значения λ=1 собственное число X раскладывается на произведение: X=(1Ii)(a+idjc+kb) Здесь слева в произведении стоит делитель нуля, а справа - также как и в первом случае кватернион с 4-мя независимыми коэффициентами.

Если обозначить через X+ собственное число при собственном значении λ=1 и через X собственное число при собственном значении λ=1 то получим: X+=(1+Ii)qX=(1Ii)qq=ajd+jckbq=a+idjc+kb Вообще говоря, здесь шла речь о правых собственных числах: IiXR=λRXRX+R=(1+Ii)qXR=(1Ii)q Соответственно, левые собственные числа XLIi=λLXL выражаются через правые: XL=¯XR X+L=¯q(1+Ii)XL=¯q(1Ii) Вот, собственно говоря, примерно так выглядят собственные числа бикватернионов.

Собственные числа бикватернионов, часть 1
Собственные числа бикватернионов, часть 2
Собственные числа бикватернионов, часть 4

Комментариев нет:

Отправить комментарий