Собственные числа бикватернионов, часть 3

После различного варьирования задачи на собственные числа и собственные значения бикватернионов немного не выясненным остается вопрос: а как же именно выглядят собственные числа бикватернионов, чему они равны? Попробуем разобраться.

Для этого вернемся к исходному пункту и для упрощения задачи рассмотрим собственные числа мнимой единицы $Ii$: $$IiX = \lambda X$$ Раскрывая это уравнение и присваивая обе части покомпонентно, получаем 4 системы уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} x_1 = \lambda x_0 \\ x_0 = \lambda x_1 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -x_7 = \lambda x_2 \\ -x_2 = \lambda x_7 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} x_6 = \lambda x_3 \\ x_3 = \lambda x_6 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -x_5 = \lambda x_4 \\ -x_4 = \lambda x_5 \end{array} \right.$$ эти 4 системы уравнений объединены одними и теми же значениями собственного значения $\lambda$: $$\begin{array}{c} \lambda=+1 \\ \lambda=-1 \end{array}$$ Соответственно, для первого решения при $\lambda=1$ имеем перевод в нормировочные коэффициенты: $$\left\{ \begin{array}{c} x_1=x_0=a' \\ x_2=-x_7=b' \\ x_3=x_6=c' \\ x_4=-x_5=d' \end{array} \right.$$ и для второго решения при $\lambda=-1$ имеем соответственно: $$\left\{ \begin{array}{c} x_1=-x_0=a'' \\ x_2=x_7=b'' \\ x_3=-x_6=c'' \\ x_4=x_5=d'' \end{array} \right.$$ При этом сами коэффициенты a, b, c, d могут иметь произвольные значения независимо друг от друга, в том числе и нулевые.

Кроме того, в первой части исследования собственных чисел было показано, что для существования нетривиального решения урвнения $$IiX=\lambda X$$ величина $X$ должна допускать разложение на произведение $$X=X'X''$$ где $X'$ - делитель нуля, сопряженный к величине $$Ii-1$$ для случая $\lambda=1$ и сопряженной к величине $$Ii+1$$ для случая $\lambda=-1$.

Соответственно, в первом случае величина $X'$ должна быть $$1+Ii$$ и во втором случае $$1-Ii$$ Теперь рассмотрим внимательно полученные 4 системы уравнений, из которых получены 2 системы по 4 уравнения, означивающие коэффициенты a, b, c, d.

Зная по номеру индекса $x_i$, к которой из мнимых единиц $X$ этот коэффициент относится, мы можем предствить величину $X$ покомпонентно и так, чтобы слева в произведении стоял нужный делитель нуля: $$\begin{array}{c} x_0+Iix_1=(1+Ii)a' \\ Ijx_2-kx_7=(1+Ii)(-k)b' \\ Ikx_3+jx_6=(1+Ii)jc' \\ Ix_4-ix_5=(1+Ii)(-i)d' \end{array}$$ Таким образом, для собственного значения $\lambda=1$ собственное число $X$ раскладывается на произведение: $$X=(1+Ii)(a'-jd'+jc'-kb')$$ Здесь слева стоит делитель нуля, а справа - обычный кватернион с 4-мя независимыми друг от друга коэффициентами.

То же самое отыскание разложения на множители можем сделать для случая собственного значения $\lambda=-1$ и используя вторую систему из 4-х уравнений: $$\begin{array}{c} x_0-Iix_1=(1-Ii)a'' \\ Ijx_2+kx_7=(1-Ii)kb'' \\ Ikx_3-jx_6=(1-Ii)(-j)c'' \\ Ix_4+ix_5=(1-Ii)id'' \end{array}$$ Таким образом, для собственного значения $\lambda=-1$ собственное число $X$ раскладывается на произведение: $$X=(1-Ii)(a''+id''-jc''+kb'')$$ Здесь слева в произведении стоит делитель нуля, а справа - также как и в первом случае кватернион с 4-мя независимыми коэффициентами.

Если обозначить через $X^+$ собственное число при собственном значении $\lambda=1$ и через $X^-$ собственное число при собственном значении $\lambda=-1$ то получим: $$\begin{array}{c} X^+=(1+Ii)q' \\ X^-=(1-Ii)q'' \\ q'=a'-jd'+jc'-kb' \\ q'' = a''+id''-jc''+kb'' \end{array}$$ Вообще говоря, здесь шла речь о правых собственных числах: $$\begin{array}{c} IiX_R=\lambda_RX_R \\ X_R^+=(1+Ii)q' \\ X_R^-=(1-Ii)q'' \end{array}$$ Соответственно, левые собственные числа $$X_LIi=\lambda_LX_L$$ выражаются через правые: $$X_L=\overline{X}_R^*$$ $$\begin{array}{c} X_L^+=\overline{q}'(1+Ii) \\ X_L^-=\overline{q}''(1-Ii) \end{array}$$ Вот, собственно говоря, примерно так выглядят собственные числа бикватернионов.

Собственные числа бикватернионов, часть 1
Собственные числа бикватернионов, часть 2
Собственные числа бикватернионов, часть 4