После различного варьирования задачи на собственные числа и собственные значения бикватернионов немного не выясненным остается вопрос: а как же именно выглядят собственные числа бикватернионов, чему они равны? Попробуем разобраться.
Для этого вернемся к исходному пункту и для упрощения задачи рассмотрим собственные числа мнимой единицы Ii:
IiX=λX
Раскрывая это уравнение и присваивая обе части покомпонентно, получаем 4 системы уравнений:
{x1=λx0x0=λx1
{−x7=λx2−x2=λx7
{x6=λx3x3=λx6
{−x5=λx4−x4=λx5
эти 4 системы уравнений объединены одними и теми же значениями собственного значения λ:
λ=+1λ=−1
Соответственно, для первого решения при λ=1 имеем перевод в нормировочные коэффициенты:
{x1=x0=a′x2=−x7=b′x3=x6=c′x4=−x5=d′
и для второго решения при λ=−1 имеем соответственно:
{x1=−x0=a″x2=x7=b″x3=−x6=c″x4=x5=d″
При этом сами коэффициенты a, b, c, d могут иметь произвольные значения независимо друг от друга, в том числе и нулевые.
Кроме того, в первой части исследования собственных чисел было показано, что для существования нетривиального решения урвнения
IiX=λX
величина X должна допускать разложение на произведение
X=X′X″
где X′ - делитель нуля, сопряженный к величине
Ii−1
для случая λ=1 и сопряженной к величине
Ii+1
для случая λ=−1.
Соответственно, в первом случае величина X′ должна быть
1+Ii
и во втором случае
1−Ii
Теперь рассмотрим внимательно полученные 4 системы уравнений, из которых получены 2 системы по 4 уравнения, означивающие коэффициенты a, b, c, d.
Зная по номеру индекса xi, к которой из мнимых единиц X этот коэффициент относится, мы можем предствить величину X покомпонентно и так, чтобы слева в произведении стоял нужный делитель нуля:
x0+Iix1=(1+Ii)a′Ijx2−kx7=(1+Ii)(−k)b′Ikx3+jx6=(1+Ii)jc′Ix4−ix5=(1+Ii)(−i)d′
Таким образом, для собственного значения λ=1 собственное число X раскладывается на произведение:
X=(1+Ii)(a′−jd′+jc′−kb′)
Здесь слева стоит делитель нуля, а справа - обычный кватернион с 4-мя независимыми друг от друга коэффициентами.
То же самое отыскание разложения на множители можем сделать для случая собственного значения λ=−1 и используя вторую систему из 4-х уравнений:
x0−Iix1=(1−Ii)a″Ijx2+kx7=(1−Ii)kb″Ikx3−jx6=(1−Ii)(−j)c″Ix4+ix5=(1−Ii)id″
Таким образом, для собственного значения λ=−1 собственное число X раскладывается на произведение:
X=(1−Ii)(a″+id″−jc″+kb″)
Здесь слева в произведении стоит делитель нуля, а справа - также как и в первом случае кватернион с 4-мя независимыми коэффициентами.
Если обозначить через X+ собственное число при собственном значении λ=1 и через X− собственное число при собственном значении λ=−1 то получим:
X+=(1+Ii)q′X−=(1−Ii)q″q′=a′−jd′+jc′−kb′q″=a″+id″−jc″+kb″
Вообще говоря, здесь шла речь о правых собственных числах:
IiXR=λRXRX+R=(1+Ii)q′X−R=(1−Ii)q″
Соответственно, левые собственные числа
XLIi=λLXL
выражаются через правые:
XL=¯X∗R
X+L=¯q′(1+Ii)X−L=¯q″(1−Ii)
Вот, собственно говоря, примерно так выглядят собственные числа бикватернионов.
Собственные числа бикватернионов, часть 1
Собственные числа бикватернионов, часть 2
Собственные числа бикватернионов, часть 4
Комментариев нет:
Отправить комментарий