Ранее мы выяснили, как при движении со скоростью света преобразуются векторные величины. Но как при таких преобразованиях преобразуются скалярное и векторное произведения? Попробуем разобраться.
При преобразовании движения света вектор $X$ преобразуется как произведение его на полуоператоры: $$ X'=aX\bar{a}^* $$ Здесь в простейшем варианте при отсутствии вращений значение $\bar{a}^*$ совпадает с значением $a$: $$ \bar{a}^*=a $$ поскольку полуоператор в векторной части содержит только полярную часть.
Полуоператор $a$ при этом является нуль-модулем, или делителем нуля: $$ a=1/2+V/2 $$ где $V$ - полярный вектор, задающий направление движения и имеющий единичную величину? $$ V=IiV_x+IjV_y+IkV_z $$ $$ V_x^2+V_y^2+V_z^2=1 $$ Очевидно, что это условие требует, чтобы среди преобразования движения света не могло быть неподвижных.
Перейдем к скалярному и векторному произведениям. Они образуются как соответствующая скалярная и векторная части произведения $$ XY^{-1} $$ В обычной трактовке где величины скалярного и векторного произведений пропорциональны величинам векторов используется аналогичная по смыслу форма, отличающаяся квадратом модуля второй величины: $$ X\bar{Y} $$ где $\bar{Y}$ - алгебраическое сопряжение со свойством $$ Y\bar{Y}=|Y|^2 $$ Скалярная часть такого произведения $$ Scl(XY^{-1}) $$ содержит скалярное произведение как действительную часть и псевдоскалярные произведения как мнимые части по их числу.
Векторная часть такого произведения $$ Vec(XY^{-1}) $$ содержит векторное произведение величин $X$ и $Y$ и содержит как полярную так и аксиальную его составляющие. Например, векторное произведение вектора оператора дифференцирования на вектор векторного потенциала образует полярный и аксиальный векторы в виде напряженностей соответственно электрического и магнитного полей.
Если есть произведение $$ XY^{-1} $$ и каждый из участвующих векторов преобразуется по правилу $$ X\rightarrow aXa $$ $$ Y\rightarrow aYa $$ то интересующее нас произведение преобразуется $$ XY^{-1}\rightarrow aXaa^{-1}Y^{-1}a^{-1} $$ Если в досветовых преобразованиях Лоренца величина $$ aa^{-1} $$ равна единице, то в преобразованиях движения света полуоператор $a$ является нуль-модулем (делителем нуля) и эта величина равна 0: $$ aa^{-1}=0 $$ Соответственно, при преобразованиях движения света искомое произведение преобразуется целиком в ноль: $$ XY^{-1}\rightarrow 0 $$ Соответственно, любая часть такого произведения равна нулю. Соответственно, при преобразованиях движения света все скалярные и псевдоскалярные, а также векторные, включая их полярные и аксиальные части, произведения равны нулю.
В переводе на физические величины получается, что для фотонов все моменты, образуемые как векторные произведения, равны нулю Это моменты импульсов и моменты сил, например.
Теоретически можно сделать вывод что если в эксперименте можно обнаружить равенство или неравенство нулю некой величины которую мы считаем векторным произведением, то можем сделать вывод является ли она действительно векторным произведением. Например, линейная скорость при круговом движении может быть выражена как векторное произведение радиус-вектора на угловую скорость, равно как и угловая скорость может быть представлена как векторное произведение линейной скорости на радиус-вектор. Хотя можно предположить что и радиус-вектор может быть представлен через векторное произведение угловой скорости и линейной скорости кругового движения. И, если эксперимент сможет выяснить какие из этих величин для фотона ненулевые, то можно сделать вывод об их первичности.
Более того, поскольку напряженности электрического и магнитного полей являются векторным произведением, для фотона становятся равны нулю. Необычность результата в том, что мы привыкли описывать электромагнитные явления именно словом электромагнитный, но для как раз свободного распространения таких явлений остается ненулевой только величина векторного потенциала, а как раз составляющая в виде собственно электрического и магнитного полей становится равна нулю.
Движение света. Оглавление.
При преобразовании движения света вектор $X$ преобразуется как произведение его на полуоператоры: $$ X'=aX\bar{a}^* $$ Здесь в простейшем варианте при отсутствии вращений значение $\bar{a}^*$ совпадает с значением $a$: $$ \bar{a}^*=a $$ поскольку полуоператор в векторной части содержит только полярную часть.
Полуоператор $a$ при этом является нуль-модулем, или делителем нуля: $$ a=1/2+V/2 $$ где $V$ - полярный вектор, задающий направление движения и имеющий единичную величину? $$ V=IiV_x+IjV_y+IkV_z $$ $$ V_x^2+V_y^2+V_z^2=1 $$ Очевидно, что это условие требует, чтобы среди преобразования движения света не могло быть неподвижных.
Перейдем к скалярному и векторному произведениям. Они образуются как соответствующая скалярная и векторная части произведения $$ XY^{-1} $$ В обычной трактовке где величины скалярного и векторного произведений пропорциональны величинам векторов используется аналогичная по смыслу форма, отличающаяся квадратом модуля второй величины: $$ X\bar{Y} $$ где $\bar{Y}$ - алгебраическое сопряжение со свойством $$ Y\bar{Y}=|Y|^2 $$ Скалярная часть такого произведения $$ Scl(XY^{-1}) $$ содержит скалярное произведение как действительную часть и псевдоскалярные произведения как мнимые части по их числу.
Векторная часть такого произведения $$ Vec(XY^{-1}) $$ содержит векторное произведение величин $X$ и $Y$ и содержит как полярную так и аксиальную его составляющие. Например, векторное произведение вектора оператора дифференцирования на вектор векторного потенциала образует полярный и аксиальный векторы в виде напряженностей соответственно электрического и магнитного полей.
Если есть произведение $$ XY^{-1} $$ и каждый из участвующих векторов преобразуется по правилу $$ X\rightarrow aXa $$ $$ Y\rightarrow aYa $$ то интересующее нас произведение преобразуется $$ XY^{-1}\rightarrow aXaa^{-1}Y^{-1}a^{-1} $$ Если в досветовых преобразованиях Лоренца величина $$ aa^{-1} $$ равна единице, то в преобразованиях движения света полуоператор $a$ является нуль-модулем (делителем нуля) и эта величина равна 0: $$ aa^{-1}=0 $$ Соответственно, при преобразованиях движения света искомое произведение преобразуется целиком в ноль: $$ XY^{-1}\rightarrow 0 $$ Соответственно, любая часть такого произведения равна нулю. Соответственно, при преобразованиях движения света все скалярные и псевдоскалярные, а также векторные, включая их полярные и аксиальные части, произведения равны нулю.
В переводе на физические величины получается, что для фотонов все моменты, образуемые как векторные произведения, равны нулю Это моменты импульсов и моменты сил, например.
Теоретически можно сделать вывод что если в эксперименте можно обнаружить равенство или неравенство нулю некой величины которую мы считаем векторным произведением, то можем сделать вывод является ли она действительно векторным произведением. Например, линейная скорость при круговом движении может быть выражена как векторное произведение радиус-вектора на угловую скорость, равно как и угловая скорость может быть представлена как векторное произведение линейной скорости на радиус-вектор. Хотя можно предположить что и радиус-вектор может быть представлен через векторное произведение угловой скорости и линейной скорости кругового движения. И, если эксперимент сможет выяснить какие из этих величин для фотона ненулевые, то можно сделать вывод об их первичности.
Более того, поскольку напряженности электрического и магнитного полей являются векторным произведением, для фотона становятся равны нулю. Необычность результата в том, что мы привыкли описывать электромагнитные явления именно словом электромагнитный, но для как раз свободного распространения таких явлений остается ненулевой только величина векторного потенциала, а как раз составляющая в виде собственно электрического и магнитного полей становится равна нулю.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий