В теории относительности мы активно используем сложение скоростей двух
досветовых преобразований Лоренца. Но как складываются скорости, если они не
досветовые, а световые? Попробуем разобраться.
Используем полученную ранее формулу преобразования 4-мерного вектора полуоператорами: X′=aXˉa∗ Здесь a - полуоператор преобразования. Пусть преобразование движения света состоит из двух преобразований, сначала применяется преобразование a, затем преобразование b: a=1/2+Va/2 b=1/2+Vb/2 При первом преобразовании вектора X мы получаем: X′=(1/2+Va/2)(x0+(Xa,xv)) Значение x0+(Xa,xv) обозначим неким скаляром α: α=x0+(Va,xv) Тогда X′=(1/2+Va/2)α После применения второго преобразования получим вектор X″: X″=(1/2+Vb/2)(α/2+(Vb,Va)α/2) После первого преобразования a видно, что X′ не зависит от направления векторной части Xv, а зависит лишь от скалярного произведения (Va,Xv). Направление X′v полностью определяется направлением Va, и этот вектор не может быть нулевым.
Точно также после второго преобразования b результат не зависит от направления Va, а лишь от скалярного произведения (Vb,Va) и от скалярного коэффициента α, оставшегося от первого преобразования. Направление же X″ полностью задается направлением Vb.
В результате можно сделать вывод, что скорости света складываются очень просто - получается та скорость света, преобразование которой было применено последним.
При исследовании аберрации мы применили преобразование Лоренца к световому вектору. К примеру, к волновому вектору. И посмотрели, к какому углу наклона это приводит. Сейчас мы можем применить не досветовое преобразование Лоренца, а световое. Но, будучи примененное к световому вектору, такое преобразование в любом случае дает световой вектор, строго сонаправленный с параметром последнего примененного светового преобразования.
Аберрация как светового движения, так и досветового, с точки зрения летящего фотона вырождается в одно и то же - коллинеарное ему движение. С точки зрения фотона все остальные объекты хотя и находятся в 3-мерном пространстве, но все движутся исключительно либо по либо против одного и того же направления. Если в реальном мире происходит масса событий, таких как горение лампочки, испускание фотонов в разных направлениях, отражения их от различных предметов, и масса всего, то для фотона все выглядит довольно скучно: если другой фотон имеет хоть чуть-чуть составляющую своей скорости навстречу фотону-наблюдателю, то фотон-наблюдатель в своем мире видит этот фотон летящим строго навстречу. Иначе фотон не наблюдается вообще (они не могут достичь фотона-наблюдателя).
Но предположим, что фотон-наблюдатель получил возможность каким-то образом наблюдать фотоны, летящие и ему вслед. Условно предположим. И зададимся вопросом - каким будут наблюдаться эти наблюдаемые фотоны?
Для этого используем модель фотона как фронта плоской волны, фаза которой задается: φ=(k,x)−ωt=(V,x)=ωcct здесь 4-мерный вектор X0=ωc Xv=k и задает волновой вектор, скалярное произведение которого на координату точки пространства задает значение фазы фолны в этой точке. Конечно, с точностью до константного смещения фазы.
Осталось рассмотреть преобразование такого волнового вектора при преобразовании светового движения. Достаточно рассмотреть лишь скалярную часть: X′0=12(X0+(V,Xv)) сделав замену на компоненты волнового вектора, получим: ω′c=12(ωc+(V,ωc)) или ω′=ω(1+cosα)/2 где α - угол между векторной частью наблюдаемого фотона и фотона-наблюдателя. Для встречного движения α=0, для поперечного α=π/2, для догоняющего α=π.
Соответственно, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется не скоростью движения (она очевидна), а лишь углом падения наблюдаемого фотона (в реальном мире). Здесь уточнение об угле падения именно в реальном мире важно: в силу предельно вырожденной аберрации фотон-наблюдатель видит все остальные фотоны (если конечно видит) летящими ровно ему навстречу.
Соответственно, можно сделать вывод, что эффект Доплера для встречных фотонов отсутствует, поперечный эффект Доплера снижает наблюдаемую частоту вдвое, и для догоняющих фотонов частота наблюдаемых фотонов нулевая.
Если досветовой наблюдатель при приближении к границе скоростей (к скорости света) видит для встречных фотонов сильное увеличение их частоты, и может предположить что на самой границе скорости света должно быть что-то сингулярное, то для фотона-наблюдателя, всю свою жизнь живущего на скорости света, ничего особого не происходит. Для него частоты других фотонов могут лишь уменьшаться.
Движение света. Оглавление.
Используем полученную ранее формулу преобразования 4-мерного вектора полуоператорами: X′=aXˉa∗ Здесь a - полуоператор преобразования. Пусть преобразование движения света состоит из двух преобразований, сначала применяется преобразование a, затем преобразование b: a=1/2+Va/2 b=1/2+Vb/2 При первом преобразовании вектора X мы получаем: X′=(1/2+Va/2)(x0+(Xa,xv)) Значение x0+(Xa,xv) обозначим неким скаляром α: α=x0+(Va,xv) Тогда X′=(1/2+Va/2)α После применения второго преобразования получим вектор X″: X″=(1/2+Vb/2)(α/2+(Vb,Va)α/2) После первого преобразования a видно, что X′ не зависит от направления векторной части Xv, а зависит лишь от скалярного произведения (Va,Xv). Направление X′v полностью определяется направлением Va, и этот вектор не может быть нулевым.
Точно также после второго преобразования b результат не зависит от направления Va, а лишь от скалярного произведения (Vb,Va) и от скалярного коэффициента α, оставшегося от первого преобразования. Направление же X″ полностью задается направлением Vb.
В результате можно сделать вывод, что скорости света складываются очень просто - получается та скорость света, преобразование которой было применено последним.
При исследовании аберрации мы применили преобразование Лоренца к световому вектору. К примеру, к волновому вектору. И посмотрели, к какому углу наклона это приводит. Сейчас мы можем применить не досветовое преобразование Лоренца, а световое. Но, будучи примененное к световому вектору, такое преобразование в любом случае дает световой вектор, строго сонаправленный с параметром последнего примененного светового преобразования.
Аберрация как светового движения, так и досветового, с точки зрения летящего фотона вырождается в одно и то же - коллинеарное ему движение. С точки зрения фотона все остальные объекты хотя и находятся в 3-мерном пространстве, но все движутся исключительно либо по либо против одного и того же направления. Если в реальном мире происходит масса событий, таких как горение лампочки, испускание фотонов в разных направлениях, отражения их от различных предметов, и масса всего, то для фотона все выглядит довольно скучно: если другой фотон имеет хоть чуть-чуть составляющую своей скорости навстречу фотону-наблюдателю, то фотон-наблюдатель в своем мире видит этот фотон летящим строго навстречу. Иначе фотон не наблюдается вообще (они не могут достичь фотона-наблюдателя).
Но предположим, что фотон-наблюдатель получил возможность каким-то образом наблюдать фотоны, летящие и ему вслед. Условно предположим. И зададимся вопросом - каким будут наблюдаться эти наблюдаемые фотоны?
Для этого используем модель фотона как фронта плоской волны, фаза которой задается: φ=(k,x)−ωt=(V,x)=ωcct здесь 4-мерный вектор X0=ωc Xv=k и задает волновой вектор, скалярное произведение которого на координату точки пространства задает значение фазы фолны в этой точке. Конечно, с точностью до константного смещения фазы.
Осталось рассмотреть преобразование такого волнового вектора при преобразовании светового движения. Достаточно рассмотреть лишь скалярную часть: X′0=12(X0+(V,Xv)) сделав замену на компоненты волнового вектора, получим: ω′c=12(ωc+(V,ωc)) или ω′=ω(1+cosα)/2 где α - угол между векторной частью наблюдаемого фотона и фотона-наблюдателя. Для встречного движения α=0, для поперечного α=π/2, для догоняющего α=π.
Соответственно, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется не скоростью движения (она очевидна), а лишь углом падения наблюдаемого фотона (в реальном мире). Здесь уточнение об угле падения именно в реальном мире важно: в силу предельно вырожденной аберрации фотон-наблюдатель видит все остальные фотоны (если конечно видит) летящими ровно ему навстречу.
Соответственно, можно сделать вывод, что эффект Доплера для встречных фотонов отсутствует, поперечный эффект Доплера снижает наблюдаемую частоту вдвое, и для догоняющих фотонов частота наблюдаемых фотонов нулевая.
Если досветовой наблюдатель при приближении к границе скоростей (к скорости света) видит для встречных фотонов сильное увеличение их частоты, и может предположить что на самой границе скорости света должно быть что-то сингулярное, то для фотона-наблюдателя, всю свою жизнь живущего на скорости света, ничего особого не происходит. Для него частоты других фотонов могут лишь уменьшаться.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий