В теории относительности мы активно используем сложение скоростей двух
досветовых преобразований Лоренца. Но как складываются скорости, если они не
досветовые, а световые? Попробуем разобраться.
Используем полученную ранее формулу преобразования 4-мерного вектора полуоператорами: $$ X'=aX\bar{a}^* $$ Здесь $a$ - полуоператор преобразования. Пусть преобразование движения света состоит из двух преобразований, сначала применяется преобразование $a$, затем преобразование $b$: $$ a=1/2+V_a/2 $$ $$ b=1/2+V_b/2 $$ При первом преобразовании вектора $X$ мы получаем: $$ X'=(1/2+V_a/2)(x_0+(X_a,x_v)) $$ Значение $x_0+(X_a,x_v)$ обозначим неким скаляром $\alpha$: $$ \alpha=x_0+(V_a,x_v) $$ Тогда $$ X'=(1/2+V_a/2)\alpha $$ После применения второго преобразования получим вектор $X''$: $$ X''=(1/2+V_b/2)(\alpha/2+(V_b,V_a)\alpha/2) $$ После первого преобразования $a$ видно, что $X'$ не зависит от направления векторной части $X_v$, а зависит лишь от скалярного произведения $(V_a,X_v)$. Направление $X'_v$ полностью определяется направлением $V_a$, и этот вектор не может быть нулевым.
Точно также после второго преобразования $b$ результат не зависит от направления $V_a$, а лишь от скалярного произведения $(V_b,V_a)$ и от скалярного коэффициента $\alpha$, оставшегося от первого преобразования. Направление же $X''$ полностью задается направлением $V_b$.
В результате можно сделать вывод, что скорости света складываются очень просто - получается та скорость света, преобразование которой было применено последним.
При исследовании аберрации мы применили преобразование Лоренца к световому вектору. К примеру, к волновому вектору. И посмотрели, к какому углу наклона это приводит. Сейчас мы можем применить не досветовое преобразование Лоренца, а световое. Но, будучи примененное к световому вектору, такое преобразование в любом случае дает световой вектор, строго сонаправленный с параметром последнего примененного светового преобразования.
Аберрация как светового движения, так и досветового, с точки зрения летящего фотона вырождается в одно и то же - коллинеарное ему движение. С точки зрения фотона все остальные объекты хотя и находятся в 3-мерном пространстве, но все движутся исключительно либо по либо против одного и того же направления. Если в реальном мире происходит масса событий, таких как горение лампочки, испускание фотонов в разных направлениях, отражения их от различных предметов, и масса всего, то для фотона все выглядит довольно скучно: если другой фотон имеет хоть чуть-чуть составляющую своей скорости навстречу фотону-наблюдателю, то фотон-наблюдатель в своем мире видит этот фотон летящим строго навстречу. Иначе фотон не наблюдается вообще (они не могут достичь фотона-наблюдателя).
Но предположим, что фотон-наблюдатель получил возможность каким-то образом наблюдать фотоны, летящие и ему вслед. Условно предположим. И зададимся вопросом - каким будут наблюдаться эти наблюдаемые фотоны?
Для этого используем модель фотона как фронта плоской волны, фаза которой задается: $$ \varphi=(k,x)-\omega t=(V,x)=\frac{\omega}{c}ct $$ здесь 4-мерный вектор $$ X_0=\frac{\omega}{c} $$ $$ X_v=k $$ и задает волновой вектор, скалярное произведение которого на координату точки пространства задает значение фазы фолны в этой точке. Конечно, с точностью до константного смещения фазы.
Осталось рассмотреть преобразование такого волнового вектора при преобразовании светового движения. Достаточно рассмотреть лишь скалярную часть: $$ X'_0=\frac{1}{2}\left(X_0+(V,X_v)\right) $$ сделав замену на компоненты волнового вектора, получим: $$ \frac{\omega'}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{\omega}{c}+ \left(V,\frac{\omega}{c}\right)\right) $$ или $$ \omega'=\omega(1+\cos\alpha)/2 $$ где $\alpha$ - угол между векторной частью наблюдаемого фотона и фотона-наблюдателя. Для встречного движения $\alpha =0$, для поперечного $\alpha=\pi/2$, для догоняющего $\alpha=\pi$.
Соответственно, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется не скоростью движения (она очевидна), а лишь углом падения наблюдаемого фотона (в реальном мире). Здесь уточнение об угле падения именно в реальном мире важно: в силу предельно вырожденной аберрации фотон-наблюдатель видит все остальные фотоны (если конечно видит) летящими ровно ему навстречу.
Соответственно, можно сделать вывод, что эффект Доплера для встречных фотонов отсутствует, поперечный эффект Доплера снижает наблюдаемую частоту вдвое, и для догоняющих фотонов частота наблюдаемых фотонов нулевая.
Если досветовой наблюдатель при приближении к границе скоростей (к скорости света) видит для встречных фотонов сильное увеличение их частоты, и может предположить что на самой границе скорости света должно быть что-то сингулярное, то для фотона-наблюдателя, всю свою жизнь живущего на скорости света, ничего особого не происходит. Для него частоты других фотонов могут лишь уменьшаться.
Движение света. Оглавление.
Используем полученную ранее формулу преобразования 4-мерного вектора полуоператорами: $$ X'=aX\bar{a}^* $$ Здесь $a$ - полуоператор преобразования. Пусть преобразование движения света состоит из двух преобразований, сначала применяется преобразование $a$, затем преобразование $b$: $$ a=1/2+V_a/2 $$ $$ b=1/2+V_b/2 $$ При первом преобразовании вектора $X$ мы получаем: $$ X'=(1/2+V_a/2)(x_0+(X_a,x_v)) $$ Значение $x_0+(X_a,x_v)$ обозначим неким скаляром $\alpha$: $$ \alpha=x_0+(V_a,x_v) $$ Тогда $$ X'=(1/2+V_a/2)\alpha $$ После применения второго преобразования получим вектор $X''$: $$ X''=(1/2+V_b/2)(\alpha/2+(V_b,V_a)\alpha/2) $$ После первого преобразования $a$ видно, что $X'$ не зависит от направления векторной части $X_v$, а зависит лишь от скалярного произведения $(V_a,X_v)$. Направление $X'_v$ полностью определяется направлением $V_a$, и этот вектор не может быть нулевым.
Точно также после второго преобразования $b$ результат не зависит от направления $V_a$, а лишь от скалярного произведения $(V_b,V_a)$ и от скалярного коэффициента $\alpha$, оставшегося от первого преобразования. Направление же $X''$ полностью задается направлением $V_b$.
В результате можно сделать вывод, что скорости света складываются очень просто - получается та скорость света, преобразование которой было применено последним.
При исследовании аберрации мы применили преобразование Лоренца к световому вектору. К примеру, к волновому вектору. И посмотрели, к какому углу наклона это приводит. Сейчас мы можем применить не досветовое преобразование Лоренца, а световое. Но, будучи примененное к световому вектору, такое преобразование в любом случае дает световой вектор, строго сонаправленный с параметром последнего примененного светового преобразования.
Аберрация как светового движения, так и досветового, с точки зрения летящего фотона вырождается в одно и то же - коллинеарное ему движение. С точки зрения фотона все остальные объекты хотя и находятся в 3-мерном пространстве, но все движутся исключительно либо по либо против одного и того же направления. Если в реальном мире происходит масса событий, таких как горение лампочки, испускание фотонов в разных направлениях, отражения их от различных предметов, и масса всего, то для фотона все выглядит довольно скучно: если другой фотон имеет хоть чуть-чуть составляющую своей скорости навстречу фотону-наблюдателю, то фотон-наблюдатель в своем мире видит этот фотон летящим строго навстречу. Иначе фотон не наблюдается вообще (они не могут достичь фотона-наблюдателя).
Но предположим, что фотон-наблюдатель получил возможность каким-то образом наблюдать фотоны, летящие и ему вслед. Условно предположим. И зададимся вопросом - каким будут наблюдаться эти наблюдаемые фотоны?
Для этого используем модель фотона как фронта плоской волны, фаза которой задается: $$ \varphi=(k,x)-\omega t=(V,x)=\frac{\omega}{c}ct $$ здесь 4-мерный вектор $$ X_0=\frac{\omega}{c} $$ $$ X_v=k $$ и задает волновой вектор, скалярное произведение которого на координату точки пространства задает значение фазы фолны в этой точке. Конечно, с точностью до константного смещения фазы.
Осталось рассмотреть преобразование такого волнового вектора при преобразовании светового движения. Достаточно рассмотреть лишь скалярную часть: $$ X'_0=\frac{1}{2}\left(X_0+(V,X_v)\right) $$ сделав замену на компоненты волнового вектора, получим: $$ \frac{\omega'}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{\omega}{c}+ \left(V,\frac{\omega}{c}\right)\right) $$ или $$ \omega'=\omega(1+\cos\alpha)/2 $$ где $\alpha$ - угол между векторной частью наблюдаемого фотона и фотона-наблюдателя. Для встречного движения $\alpha =0$, для поперечного $\alpha=\pi/2$, для догоняющего $\alpha=\pi$.
Соответственно, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется не скоростью движения (она очевидна), а лишь углом падения наблюдаемого фотона (в реальном мире). Здесь уточнение об угле падения именно в реальном мире важно: в силу предельно вырожденной аберрации фотон-наблюдатель видит все остальные фотоны (если конечно видит) летящими ровно ему навстречу.
Соответственно, можно сделать вывод, что эффект Доплера для встречных фотонов отсутствует, поперечный эффект Доплера снижает наблюдаемую частоту вдвое, и для догоняющих фотонов частота наблюдаемых фотонов нулевая.
Если досветовой наблюдатель при приближении к границе скоростей (к скорости света) видит для встречных фотонов сильное увеличение их частоты, и может предположить что на самой границе скорости света должно быть что-то сингулярное, то для фотона-наблюдателя, всю свою жизнь живущего на скорости света, ничего особого не происходит. Для него частоты других фотонов могут лишь уменьшаться.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий