Как выглядят скалярное произведение, определенное в СТО, и скалярное произведение, определенное в гиперкомплексных числах, в сравнении? Попробуем разобраться.
В СТО скалярное произведение для двух пространственно-временных векторов a=(a0,a1) b=(b0,b1) определено как билинейная симметричная форма S1(a,b)=a0b0−a1b1 здесь a0 и b0 - временные компоненты, а a1 и b1 - пространственные.
В гиперкомплексных числах им соответствуют бикватернионы a=a0+Iia1 b=b0+Iib1 и скалярное произведение определено как и несимметричная и некоммутативная форма S2(a,b)=Re(ab−1) В компонентах выражение b−1 выглядит как: b−1=b0b20−b21−b1b20−b21 И, в силу специфики взятия обратного выполняется соотношение bb−1=1 если взятие обратного возможно.
Соответственно, скалярное произведение для этих выбранных бикватернионов в компонентах выражается как: S2(a,b)=a0b0b20−b21−a1b1b20−b21 Оба эти скалярные произведения и чем-то похожи, и чем-то отличаются.
Для сравнения положим, что у нас есть некий процесс, у которого мы можем покрутить некую ручку и получить на выходе два пространственно-временных вектора с изменяющимися компонентами. И нас интересует, каково же взаимное расположение этих векторов - они сонаправлены, противоположно направлены, ортогональны, или еще что-то можем узнать. Также предположим, что мы не знаем почему, но вот почему-то оба получаемых нами вектора хотя и независимы друг от друга, но получаются одинаковыми: a=b Иначе говоря, мы определяем, сонаправлен ли вектор самому себе.
Покрутим ручку первый раз и получим два временных вектора: a0=b0=1 a1=b1=0 Скалярное произведение СТО нам дает: S1(a,b)=1⋅1−0⋅0=1 Поскольку число положительное, то значит векторы сонаправоены. Ну, вроде бы, оно так и есть.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает единицу точно также: S2(a,b)=1 Оба скалярных произведения дали правильный результат, векторы сонаправлены.
Покрутим ручку второй раз и получим два пространственных вектора: a0=b0=0 a1=b1=1 Скалярное произведение СТО нам дает: S1(a,b)=0⋅0−1⋅1=−1 Поскольку число отрицательное, получается что одинаковые вектора противоположно направлены.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает опять же единицу: S2(a,b)=Re(ab−1)=Re(aa−1)=1 что показывает, что нет, и пространственные векторы получились сонаправленными. И в этом втором случае два скалярных произведения разошлись во мнении.
Покрутим ручку третий раз и получим пространственно-временные векторы: a0=b0=1 a1=b1=1 Скалярное произведение СТО нам дает: S1(a,b)=1⋅1−1⋅1=0 И говорит тем самым, что два одинаковых вектора теперь ортогональны друг другу.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел нам дает, что эта величина не может быть вычислена, поскольку у числа b не может быть определено обратное значение из-за деления на ноль.
И в этом третьем варианте два скалярных произведения разошлись во мнении.
Если скалярное произведение в СТО может быть выражено как S1(a,b)=|a|⋅|b|⋅cos(φ) где cos(φ) - некая условная характеристика взаимного расположения векторов, то для гиперкомплексных чисел эквивалентом будет: S2(a,b)=|a||b||b|2cos(φ) И, в случае когда |b|=0 то скалярное произведение СТО некорректно определяет что вектора ортогональны, а вычисление скалярного произведения гиперкомплексных чисел корректно определяет, что оно не может быть взято.
Ну, что сказать - со счетом 3 : 1 побеждает скалярное произведение, определенное для гиперкомплексных чисел.
В СТО скалярное произведение для двух пространственно-временных векторов a=(a0,a1) b=(b0,b1) определено как билинейная симметричная форма S1(a,b)=a0b0−a1b1 здесь a0 и b0 - временные компоненты, а a1 и b1 - пространственные.
В гиперкомплексных числах им соответствуют бикватернионы a=a0+Iia1 b=b0+Iib1 и скалярное произведение определено как и несимметричная и некоммутативная форма S2(a,b)=Re(ab−1) В компонентах выражение b−1 выглядит как: b−1=b0b20−b21−b1b20−b21 И, в силу специфики взятия обратного выполняется соотношение bb−1=1 если взятие обратного возможно.
Соответственно, скалярное произведение для этих выбранных бикватернионов в компонентах выражается как: S2(a,b)=a0b0b20−b21−a1b1b20−b21 Оба эти скалярные произведения и чем-то похожи, и чем-то отличаются.
Для сравнения положим, что у нас есть некий процесс, у которого мы можем покрутить некую ручку и получить на выходе два пространственно-временных вектора с изменяющимися компонентами. И нас интересует, каково же взаимное расположение этих векторов - они сонаправлены, противоположно направлены, ортогональны, или еще что-то можем узнать. Также предположим, что мы не знаем почему, но вот почему-то оба получаемых нами вектора хотя и независимы друг от друга, но получаются одинаковыми: a=b Иначе говоря, мы определяем, сонаправлен ли вектор самому себе.
Покрутим ручку первый раз и получим два временных вектора: a0=b0=1 a1=b1=0 Скалярное произведение СТО нам дает: S1(a,b)=1⋅1−0⋅0=1 Поскольку число положительное, то значит векторы сонаправоены. Ну, вроде бы, оно так и есть.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает единицу точно также: S2(a,b)=1 Оба скалярных произведения дали правильный результат, векторы сонаправлены.
Покрутим ручку второй раз и получим два пространственных вектора: a0=b0=0 a1=b1=1 Скалярное произведение СТО нам дает: S1(a,b)=0⋅0−1⋅1=−1 Поскольку число отрицательное, получается что одинаковые вектора противоположно направлены.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает опять же единицу: S2(a,b)=Re(ab−1)=Re(aa−1)=1 что показывает, что нет, и пространственные векторы получились сонаправленными. И в этом втором случае два скалярных произведения разошлись во мнении.
Покрутим ручку третий раз и получим пространственно-временные векторы: a0=b0=1 a1=b1=1 Скалярное произведение СТО нам дает: S1(a,b)=1⋅1−1⋅1=0 И говорит тем самым, что два одинаковых вектора теперь ортогональны друг другу.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел нам дает, что эта величина не может быть вычислена, поскольку у числа b не может быть определено обратное значение из-за деления на ноль.
И в этом третьем варианте два скалярных произведения разошлись во мнении.
Если скалярное произведение в СТО может быть выражено как S1(a,b)=|a|⋅|b|⋅cos(φ) где cos(φ) - некая условная характеристика взаимного расположения векторов, то для гиперкомплексных чисел эквивалентом будет: S2(a,b)=|a||b||b|2cos(φ) И, в случае когда |b|=0 то скалярное произведение СТО некорректно определяет что вектора ортогональны, а вычисление скалярного произведения гиперкомплексных чисел корректно определяет, что оно не может быть взято.
Ну, что сказать - со счетом 3 : 1 побеждает скалярное произведение, определенное для гиперкомплексных чисел.
Комментариев нет:
Отправить комментарий