Как выглядят скалярное произведение, определенное в СТО, и скалярное произведение, определенное в гиперкомплексных числах, в сравнении? Попробуем разобраться.
В СТО скалярное произведение для двух пространственно-временных векторов $$ a=(a_0,a_1) $$ $$ b=(b_0,b_1) $$ определено как билинейная симметричная форма $$ S_1(a,b)=a_0b_0-a_1b_1 $$ здесь $a_0$ и $b_0$ - временные компоненты, а $a_1$ и $b_1$ - пространственные.
В гиперкомплексных числах им соответствуют бикватернионы $$ a=a_0+Iia_1 $$ $$ b=b_0+Iib_1 $$ и скалярное произведение определено как и несимметричная и некоммутативная форма $$ S_2(a,b)=Re(ab_{-1}) $$ В компонентах выражение $b^{-1}$ выглядит как: $$ b^{-1}=\frac{b_0}{b_0^2-b_1^2}-\frac{b_1}{b_0^2-b_1^2} $$ И, в силу специфики взятия обратного выполняется соотношение $$ bb^{-1}=1 $$ если взятие обратного возможно.
Соответственно, скалярное произведение для этих выбранных бикватернионов в компонентах выражается как: $$ S_2(a,b)=\frac{a_0b_0}{b_0^2-b_1^2}-\frac{a_1b_1}{b_0^2-b_1^2} $$ Оба эти скалярные произведения и чем-то похожи, и чем-то отличаются.
Для сравнения положим, что у нас есть некий процесс, у которого мы можем покрутить некую ручку и получить на выходе два пространственно-временных вектора с изменяющимися компонентами. И нас интересует, каково же взаимное расположение этих векторов - они сонаправлены, противоположно направлены, ортогональны, или еще что-то можем узнать. Также предположим, что мы не знаем почему, но вот почему-то оба получаемых нами вектора хотя и независимы друг от друга, но получаются одинаковыми: $$ a=b $$ Иначе говоря, мы определяем, сонаправлен ли вектор самому себе.
Покрутим ручку первый раз и получим два временных вектора: $$ a_0=b_0=1 $$ $$ a_1=b_1=0 $$ Скалярное произведение СТО нам дает: $$ S_1(a,b)=1\cdot 1-0\cdot 0=1 $$ Поскольку число положительное, то значит векторы сонаправоены. Ну, вроде бы, оно так и есть.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает единицу точно также: $$ S_2(a,b)=1 $$ Оба скалярных произведения дали правильный результат, векторы сонаправлены.
Покрутим ручку второй раз и получим два пространственных вектора: $$ a_0=b_0=0 $$ $$ a_1=b_1=1 $$ Скалярное произведение СТО нам дает: $$ S_1(a,b)=0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1 $$ Поскольку число отрицательное, получается что одинаковые вектора противоположно направлены.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает опять же единицу: $$ S_2(a,b)=Re(ab^{-1})=Re(aa^{-1})=1 $$ что показывает, что нет, и пространственные векторы получились сонаправленными. И в этом втором случае два скалярных произведения разошлись во мнении.
Покрутим ручку третий раз и получим пространственно-временные векторы: $$ a_0=b_0=1 $$ $$ a_1=b_1=1 $$ Скалярное произведение СТО нам дает: $$ S_1(a,b)=1\cdot 1-1\cdot 1 = 0 $$ И говорит тем самым, что два одинаковых вектора теперь ортогональны друг другу.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел нам дает, что эта величина не может быть вычислена, поскольку у числа $b$ не может быть определено обратное значение из-за деления на ноль.
И в этом третьем варианте два скалярных произведения разошлись во мнении.
Если скалярное произведение в СТО может быть выражено как $$ S_1(a,b)=|a|\cdot |b|\cdot \cos(\varphi) $$ где $\cos(\varphi)$ - некая условная характеристика взаимного расположения векторов, то для гиперкомплексных чисел эквивалентом будет: $$ S_2(a,b)=\frac{|a||b|}{|b|^2}\cos(\varphi) $$ И, в случае когда $|b|=0$ то скалярное произведение СТО некорректно определяет что вектора ортогональны, а вычисление скалярного произведения гиперкомплексных чисел корректно определяет, что оно не может быть взято.
Ну, что сказать - со счетом 3 : 1 побеждает скалярное произведение, определенное для гиперкомплексных чисел.
В СТО скалярное произведение для двух пространственно-временных векторов $$ a=(a_0,a_1) $$ $$ b=(b_0,b_1) $$ определено как билинейная симметричная форма $$ S_1(a,b)=a_0b_0-a_1b_1 $$ здесь $a_0$ и $b_0$ - временные компоненты, а $a_1$ и $b_1$ - пространственные.
В гиперкомплексных числах им соответствуют бикватернионы $$ a=a_0+Iia_1 $$ $$ b=b_0+Iib_1 $$ и скалярное произведение определено как и несимметричная и некоммутативная форма $$ S_2(a,b)=Re(ab_{-1}) $$ В компонентах выражение $b^{-1}$ выглядит как: $$ b^{-1}=\frac{b_0}{b_0^2-b_1^2}-\frac{b_1}{b_0^2-b_1^2} $$ И, в силу специфики взятия обратного выполняется соотношение $$ bb^{-1}=1 $$ если взятие обратного возможно.
Соответственно, скалярное произведение для этих выбранных бикватернионов в компонентах выражается как: $$ S_2(a,b)=\frac{a_0b_0}{b_0^2-b_1^2}-\frac{a_1b_1}{b_0^2-b_1^2} $$ Оба эти скалярные произведения и чем-то похожи, и чем-то отличаются.
Для сравнения положим, что у нас есть некий процесс, у которого мы можем покрутить некую ручку и получить на выходе два пространственно-временных вектора с изменяющимися компонентами. И нас интересует, каково же взаимное расположение этих векторов - они сонаправлены, противоположно направлены, ортогональны, или еще что-то можем узнать. Также предположим, что мы не знаем почему, но вот почему-то оба получаемых нами вектора хотя и независимы друг от друга, но получаются одинаковыми: $$ a=b $$ Иначе говоря, мы определяем, сонаправлен ли вектор самому себе.
Покрутим ручку первый раз и получим два временных вектора: $$ a_0=b_0=1 $$ $$ a_1=b_1=0 $$ Скалярное произведение СТО нам дает: $$ S_1(a,b)=1\cdot 1-0\cdot 0=1 $$ Поскольку число положительное, то значит векторы сонаправоены. Ну, вроде бы, оно так и есть.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает единицу точно также: $$ S_2(a,b)=1 $$ Оба скалярных произведения дали правильный результат, векторы сонаправлены.
Покрутим ручку второй раз и получим два пространственных вектора: $$ a_0=b_0=0 $$ $$ a_1=b_1=1 $$ Скалярное произведение СТО нам дает: $$ S_1(a,b)=0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1 $$ Поскольку число отрицательное, получается что одинаковые вектора противоположно направлены.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел дает опять же единицу: $$ S_2(a,b)=Re(ab^{-1})=Re(aa^{-1})=1 $$ что показывает, что нет, и пространственные векторы получились сонаправленными. И в этом втором случае два скалярных произведения разошлись во мнении.
Покрутим ручку третий раз и получим пространственно-временные векторы: $$ a_0=b_0=1 $$ $$ a_1=b_1=1 $$ Скалярное произведение СТО нам дает: $$ S_1(a,b)=1\cdot 1-1\cdot 1 = 0 $$ И говорит тем самым, что два одинаковых вектора теперь ортогональны друг другу.
Скалярное произведение гиперкомплексных чисел нам дает, что эта величина не может быть вычислена, поскольку у числа $b$ не может быть определено обратное значение из-за деления на ноль.
И в этом третьем варианте два скалярных произведения разошлись во мнении.
Если скалярное произведение в СТО может быть выражено как $$ S_1(a,b)=|a|\cdot |b|\cdot \cos(\varphi) $$ где $\cos(\varphi)$ - некая условная характеристика взаимного расположения векторов, то для гиперкомплексных чисел эквивалентом будет: $$ S_2(a,b)=\frac{|a||b|}{|b|^2}\cos(\varphi) $$ И, в случае когда $|b|=0$ то скалярное произведение СТО некорректно определяет что вектора ортогональны, а вычисление скалярного произведения гиперкомплексных чисел корректно определяет, что оно не может быть взято.
Ну, что сказать - со счетом 3 : 1 побеждает скалярное произведение, определенное для гиперкомплексных чисел.
Комментариев нет:
Отправить комментарий