Среди волновых процессов существуют не только световые, но и досветовые волновые
процессы. Как выглядит изменение досветового волнового процесса при его
наблюдении фотоном? Попробуем разобраться.
Кратко опишем понятие волнового вектора для понимания движущегося процесса, описываемого математически. В некой локальной окрестности выбранной точки распространяется фронт волны. В целом это очень кривая поверхность, но в выбранной окрестности в силу её малости это почти плоскость. Нормаль в точке к этой поверхности определяется 4- мерным вектором в пространстве-времени,Ю и точки, принадлежащей фронту волны в этой точке и в локальной окрестности ортогональны и образуют касательную плоскость.
Если мы рассматриваем процесс, локализованный в точке $X_0$, то уравнение плоскости, ортогональной волновому вектору $$ q=q_0+q_v $$ определяется скалярным произведением $$ (X-X_0,q)=0 $$ В силу линейности скалярного произведения (по крайней мере по первому его аргументу) можем раскрыть: $$ (X,q)=(X_0,q) $$ Если функция описывает волновой процесс, то она должна иметь одинаковое значение на фазовой поверхности. Следовательно, в выбранной локальной области около $X_0$ волновая функция выглядит как функция от скалярного произведения: $$ f=f\left((X-X_0,q)\right)=f((X,q) + \alpha) $$ Для моделирования волнового движения нам этого, в общем-то, достаточно, посольку все остльное выводится из этого уравнения.
Сам волновой вектор может быть представлен как градиент некой функции, называемой эйконалом: $$ q=grad\varphi $$ если мы фазу волновой функции в выбранной малой локальной окрестности представим в виде ряда: $$ \varphi=\varphi_0+r_vgrad\varphi+ \frac{\partial\varphi}{\partial t}t $$ где $r_v$ и $t$ - малые смещения от фазовой поверхности $\varphi_0$ к фазовой поверхности $\varphi$.
Здесь $r_v$ - векторная часть волнового вектора, $\partial\varphi/\partial t$ - скалярная его часть. И, собственно эйконалом называется величина $\varphi$.
Скалярная и векторная составляющие волнового вектора определяют соответственно частоту и длину волны в направлении векторной части $$ q_0=\nu/c $$ $$ q_v=1/\lambda $$ здесь $\nu$ - частота, $\lambda$ - длина волны в выбранной локальной точке, берущаяся в направлении движения.
Соответственно, отношение скалярной и векторной частейволнового вектора дает его скорость, или скорость распространения фазовой поверности в выбранной локальной точке в направлении волнового вектора.
Длина волны, умноженная на частоту, дает скорость распространения волны: $$ v=\lambda\nu=\frac{q_0}{q_v}c $$ Во многих применениях волны приближают тригонометрическими функциями, синусами и косинусами, являющимися формально функциями углового аргумента. Для приведения линейных и частотных волновых величин к угловым их умножают на $2\pi$ радиан или используют не саму частоту, а угловую частоту. В нашем случае такой необходимости нет, мы не собираемся моделировать саму функцию волнового движения. Нам достаточно ограничиться волновым вектором.
А именно, чтобы увидеть как преобразуется волновое движение при применении к нему преобразования светового движения, преобразуем вектор $$ q=q_0+q_v $$ $$ q_0=\nu/c $$ $$ |q_v|=1/\lambda $$ $$ q'=(1/2+V/2)(q_0+q_v)(1/2+V/2) $$ $$ q'_0=\frac{1}{2}(q_0+(V,q_v)) $$ $$ q'_v=\frac{1}{2}V(q_0+(V,q_v)) $$ здесь $V$ - единичный вектор направления светового преобразования. В направлении, совпадающем с движением света, имеем: $$ (V,q_v)=|V||q_v|=1/\lambda $$ Таким образом скалярная часть изменяется так: $$ q'_0=1/2(\nu/c+1/\lambda)=1/2(\nu/c+\nu/v) $$ где $v$ - изначальная скорость волнового движения.
Для фотона-наблюдателя результирующая скорость, конечно, будет одной и той же - скорость света, но частоту он будет наблюдать такую: $$ q'_0=\nu'/c=1/2(\nu/c+\nu/v) $$ или $$ \nu'=\nu\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{v}\right) $$ Выражение справа можно сократить, как один из вариантов, например, так: $$ \frac{c}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{v}\right)= \frac{c}{2}\frac{v+c}{cv}=\frac{v+c}{2v} $$ Или, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется изменением наблюдаемой частоты: $$ \nu'=\nu\frac{v+c}{2v} $$ Для медленно движущихся наблюдаемых волновых процессов эффект Доплера очень большой. По мере увеличения скорости уменьшается. И при достижении скорости света отсутствует.
Движение света. Оглавление.
Кратко опишем понятие волнового вектора для понимания движущегося процесса, описываемого математически. В некой локальной окрестности выбранной точки распространяется фронт волны. В целом это очень кривая поверхность, но в выбранной окрестности в силу её малости это почти плоскость. Нормаль в точке к этой поверхности определяется 4- мерным вектором в пространстве-времени,Ю и точки, принадлежащей фронту волны в этой точке и в локальной окрестности ортогональны и образуют касательную плоскость.
Если мы рассматриваем процесс, локализованный в точке $X_0$, то уравнение плоскости, ортогональной волновому вектору $$ q=q_0+q_v $$ определяется скалярным произведением $$ (X-X_0,q)=0 $$ В силу линейности скалярного произведения (по крайней мере по первому его аргументу) можем раскрыть: $$ (X,q)=(X_0,q) $$ Если функция описывает волновой процесс, то она должна иметь одинаковое значение на фазовой поверхности. Следовательно, в выбранной локальной области около $X_0$ волновая функция выглядит как функция от скалярного произведения: $$ f=f\left((X-X_0,q)\right)=f((X,q) + \alpha) $$ Для моделирования волнового движения нам этого, в общем-то, достаточно, посольку все остльное выводится из этого уравнения.
Сам волновой вектор может быть представлен как градиент некой функции, называемой эйконалом: $$ q=grad\varphi $$ если мы фазу волновой функции в выбранной малой локальной окрестности представим в виде ряда: $$ \varphi=\varphi_0+r_vgrad\varphi+ \frac{\partial\varphi}{\partial t}t $$ где $r_v$ и $t$ - малые смещения от фазовой поверхности $\varphi_0$ к фазовой поверхности $\varphi$.
Здесь $r_v$ - векторная часть волнового вектора, $\partial\varphi/\partial t$ - скалярная его часть. И, собственно эйконалом называется величина $\varphi$.
Скалярная и векторная составляющие волнового вектора определяют соответственно частоту и длину волны в направлении векторной части $$ q_0=\nu/c $$ $$ q_v=1/\lambda $$ здесь $\nu$ - частота, $\lambda$ - длина волны в выбранной локальной точке, берущаяся в направлении движения.
Соответственно, отношение скалярной и векторной частейволнового вектора дает его скорость, или скорость распространения фазовой поверности в выбранной локальной точке в направлении волнового вектора.
Длина волны, умноженная на частоту, дает скорость распространения волны: $$ v=\lambda\nu=\frac{q_0}{q_v}c $$ Во многих применениях волны приближают тригонометрическими функциями, синусами и косинусами, являющимися формально функциями углового аргумента. Для приведения линейных и частотных волновых величин к угловым их умножают на $2\pi$ радиан или используют не саму частоту, а угловую частоту. В нашем случае такой необходимости нет, мы не собираемся моделировать саму функцию волнового движения. Нам достаточно ограничиться волновым вектором.
А именно, чтобы увидеть как преобразуется волновое движение при применении к нему преобразования светового движения, преобразуем вектор $$ q=q_0+q_v $$ $$ q_0=\nu/c $$ $$ |q_v|=1/\lambda $$ $$ q'=(1/2+V/2)(q_0+q_v)(1/2+V/2) $$ $$ q'_0=\frac{1}{2}(q_0+(V,q_v)) $$ $$ q'_v=\frac{1}{2}V(q_0+(V,q_v)) $$ здесь $V$ - единичный вектор направления светового преобразования. В направлении, совпадающем с движением света, имеем: $$ (V,q_v)=|V||q_v|=1/\lambda $$ Таким образом скалярная часть изменяется так: $$ q'_0=1/2(\nu/c+1/\lambda)=1/2(\nu/c+\nu/v) $$ где $v$ - изначальная скорость волнового движения.
Для фотона-наблюдателя результирующая скорость, конечно, будет одной и той же - скорость света, но частоту он будет наблюдать такую: $$ q'_0=\nu'/c=1/2(\nu/c+\nu/v) $$ или $$ \nu'=\nu\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{v}\right) $$ Выражение справа можно сократить, как один из вариантов, например, так: $$ \frac{c}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{v}\right)= \frac{c}{2}\frac{v+c}{cv}=\frac{v+c}{2v} $$ Или, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется изменением наблюдаемой частоты: $$ \nu'=\nu\frac{v+c}{2v} $$ Для медленно движущихся наблюдаемых волновых процессов эффект Доплера очень большой. По мере увеличения скорости уменьшается. И при достижении скорости света отсутствует.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий