Processing math: 100%

четверг, 27 августа 2020 г.

Движение света. Эффект Доплера для фотона.

Среди волновых процессов существуют не только световые, но и досветовые волновые процессы. Как выглядит изменение досветового волнового процесса при его наблюдении фотоном? Попробуем разобраться.

Кратко опишем понятие волнового вектора для понимания движущегося процесса, описываемого математически. В некой локальной окрестности выбранной точки распространяется фронт волны. В целом это очень кривая поверхность, но в выбранной окрестности в силу её малости это почти плоскость. Нормаль в точке к этой поверхности определяется 4- мерным вектором в пространстве-времени,Ю и точки, принадлежащей фронту волны в этой точке и в локальной окрестности ортогональны и образуют касательную плоскость.

Если мы рассматриваем процесс, локализованный в точке X0, то уравнение плоскости, ортогональной волновому вектору q=q0+qv определяется скалярным произведением (XX0,q)=0 В силу линейности скалярного произведения (по крайней мере по первому его аргументу) можем раскрыть: (X,q)=(X0,q) Если функция описывает волновой процесс, то она должна иметь одинаковое значение на фазовой поверхности. Следовательно, в выбранной локальной области около X0 волновая функция выглядит как функция от скалярного произведения: f=f((XX0,q))=f((X,q)+α) Для моделирования волнового движения нам этого, в общем-то, достаточно, посольку все остльное выводится из этого уравнения.

Сам волновой вектор может быть представлен как градиент некой функции, называемой эйконалом: q=gradφ если мы фазу волновой функции в выбранной малой локальной окрестности представим в виде ряда: φ=φ0+rvgradφ+φtt где rv и t - малые смещения от фазовой поверхности φ0 к фазовой поверхности φ.

Здесь rv - векторная часть волнового вектора, φ/t - скалярная его часть. И, собственно эйконалом называется величина φ.

Скалярная и векторная составляющие волнового вектора определяют соответственно частоту и длину волны в направлении векторной части q0=ν/c qv=1/λ здесь ν - частота, λ - длина волны в выбранной локальной точке, берущаяся в направлении движения.

Соответственно, отношение скалярной и векторной частейволнового вектора дает его скорость, или скорость распространения фазовой поверности в выбранной локальной точке в направлении волнового вектора.

Длина волны, умноженная на частоту, дает скорость распространения волны: v=λν=q0qvc Во многих применениях волны приближают тригонометрическими функциями, синусами и косинусами, являющимися формально функциями углового аргумента. Для приведения линейных и частотных волновых величин к угловым их умножают на 2π радиан или используют не саму частоту, а угловую частоту. В нашем случае такой необходимости нет, мы не собираемся моделировать саму функцию волнового движения. Нам достаточно ограничиться волновым вектором.

А именно, чтобы увидеть как преобразуется волновое движение при применении к нему преобразования светового движения, преобразуем вектор q=q0+qv q0=ν/c |qv|=1/λ q=(1/2+V/2)(q0+qv)(1/2+V/2) q0=12(q0+(V,qv)) qv=12V(q0+(V,qv)) здесь V - единичный вектор направления светового преобразования. В направлении, совпадающем с движением света, имеем: (V,qv)=|V||qv|=1/λ Таким образом скалярная часть изменяется так: q0=1/2(ν/c+1/λ)=1/2(ν/c+ν/v) где v - изначальная скорость волнового движения.

Для фотона-наблюдателя результирующая скорость, конечно, будет одной и той же - скорость света, но частоту он будет наблюдать такую: q0=ν/c=1/2(ν/c+ν/v) или ν=νc2(1c+1v) Выражение справа можно сократить, как один из вариантов, например, так: c2(1c+1v)=c2v+ccv=v+c2v Или, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется изменением наблюдаемой частоты: ν=νv+c2v Для медленно движущихся наблюдаемых волновых процессов эффект Доплера очень большой. По мере увеличения скорости уменьшается. И при достижении скорости света отсутствует.

Движение света. Оглавление.

Комментариев нет:

Отправить комментарий