Движение света. Эффект Доплера для фотона.

Среди волновых процессов существуют не только световые, но и досветовые волновые процессы. Как выглядит изменение досветового волнового процесса при его наблюдении фотоном? Попробуем разобраться.

Кратко опишем понятие волнового вектора для понимания движущегося процесса, описываемого математически. В некой локальной окрестности выбранной точки распространяется фронт волны. В целом это очень кривая поверхность, но в выбранной окрестности в силу её малости это почти плоскость. Нормаль в точке к этой поверхности определяется 4- мерным вектором в пространстве-времени,Ю и точки, принадлежащей фронту волны в этой точке и в локальной окрестности ортогональны и образуют касательную плоскость.

Если мы рассматриваем процесс, локализованный в точке $X_0$, то уравнение плоскости, ортогональной волновому вектору $$q=q_0+q_v$$ определяется скалярным произведением $$(X-X_0,q)=0$$ В силу линейности скалярного произведения (по крайней мере по первому его аргументу) можем раскрыть: $$(X,q)=(X_0,q)$$ Если функция описывает волновой процесс, то она должна иметь одинаковое значение на фазовой поверхности. Следовательно, в выбранной локальной области около $X_0$ волновая функция выглядит как функция от скалярного произведения: $$f=f\left((X-X_0,q)\right)=f((X,q) + \alpha)$$ Для моделирования волнового движения нам этого, в общем-то, достаточно, посольку все остльное выводится из этого уравнения.

Сам волновой вектор может быть представлен как градиент некой функции, называемой эйконалом: $$q=grad\varphi$$ если мы фазу волновой функции в выбранной малой локальной окрестности представим в виде ряда: $$\varphi=\varphi_0+r_vgrad\varphi+ \frac{\partial\varphi}{\partial t}t$$ где $r_v$ и $t$ - малые смещения от фазовой поверхности $\varphi_0$ к фазовой поверхности $\varphi$.

Здесь $r_v$ - векторная часть волнового вектора, $\partial\varphi/\partial t$ - скалярная его часть. И, собственно эйконалом называется величина $\varphi$.

Скалярная и векторная составляющие волнового вектора определяют соответственно частоту и длину волны в направлении векторной части $$q_0=\nu/c$$ $$q_v=1/\lambda$$ здесь $\nu$ - частота, $\lambda$ - длина волны в выбранной локальной точке, берущаяся в направлении движения.

Соответственно, отношение скалярной и векторной частейволнового вектора дает его скорость, или скорость распространения фазовой поверности в выбранной локальной точке в направлении волнового вектора.

Длина волны, умноженная на частоту, дает скорость распространения волны: $$v=\lambda\nu=\frac{q_0}{q_v}c$$ Во многих применениях волны приближают тригонометрическими функциями, синусами и косинусами, являющимися формально функциями углового аргумента. Для приведения линейных и частотных волновых величин к угловым их умножают на $2\pi$ радиан или используют не саму частоту, а угловую частоту. В нашем случае такой необходимости нет, мы не собираемся моделировать саму функцию волнового движения. Нам достаточно ограничиться волновым вектором.

А именно, чтобы увидеть как преобразуется волновое движение при применении к нему преобразования светового движения, преобразуем вектор $$q=q_0+q_v$$ $$q_0=\nu/c$$ $$|q_v|=1/\lambda$$ $$q'=(1/2+V/2)(q_0+q_v)(1/2+V/2)$$ $$q'_0=\frac{1}{2}(q_0+(V,q_v))$$ $$q'_v=\frac{1}{2}V(q_0+(V,q_v))$$ здесь $V$ - единичный вектор направления светового преобразования. В направлении, совпадающем с движением света, имеем: $$(V,q_v)=|V||q_v|=1/\lambda$$ Таким образом скалярная часть изменяется так: $$q'_0=1/2(\nu/c+1/\lambda)=1/2(\nu/c+\nu/v)$$ где $v$ - изначальная скорость волнового движения.

Для фотона-наблюдателя результирующая скорость, конечно, будет одной и той же - скорость света, но частоту он будет наблюдать такую: $$q'_0=\nu'/c=1/2(\nu/c+\nu/v)$$ или $$\nu'=\nu\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{v}\right)$$ Выражение справа можно сократить, как один из вариантов, например, так: $$\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{v}\right)= \frac{c}{2}\frac{v+c}{cv}=\frac{v+c}{2v}$$ Или, эффект Доплера для фотона-наблюдателя определяется изменением наблюдаемой частоты: $$\nu'=\nu\frac{v+c}{2v}$$ Для медленно движущихся наблюдаемых волновых процессов эффект Доплера очень большой. По мере увеличения скорости уменьшается. И при достижении скорости света отсутствует.

Движение света. Оглавление.