Какое преобразование системы координат необходимо выполнить, чтобы получить
переход от неподвижного объекта к движущемуся со скоростью света? Попробуем
разобраться.
В посте об аберрации мы не пользовались формулой сложения скоростей, или композиции двух преобразований Лоренца. Мы просто применили одно преобразование Лоренца к вектору, означающему движение со скоростью света. К уже готовому вектору, а не полученному преобразованием Лоренца.
Неподвижный объект имеет приращение координат по прошествии времени $dt$ лишь по одной оси, временной: $$ dX=cdt $$ При преобразовании Лоренца, применяемому к такому объекту, сохраняется его величина $$ dX'^2=xX^2=c^2dt^2= $$ $$ =c^2dt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2 $$ И, если исходная величина $cdt$ была ненулевой, то после применения преобразования Лоренца она остается той же, то есть ненулевой.
Но движение со скоростью света имеет нулевую величину: $$ cdt'^2=dx'^2+dy'^2+dz'^2 $$ Следовательно, не существует такого преобразования Лоренца, которое переводило бы неподвижный объект в движущийся со скоростью света. В движущийся с любой, но досветовой скоростью - пожалуйста, но со световой - нет.
Те, кто оперирует представлениями группы преобразований Лоренца, используя $\gamma$-фактор $$ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ в этом случае вынуждены будут делить на ноль.
И, видимо, верно обратное - если объект движется со световой скоростью, то никакое преобразование Лоренца не переведет его ни в движущееся с досветовой скоростью, ни в неподвижный объект.
Но, тем не менее, свет движется и он существует в нашем пространстве. Если его нельзя описать преобразованиями Лоренца, то какими преобразованиями его можно описать?
В терминах гиперкомплексных чисел, если на число с ненулевым модулем умножить второе число и получаем число с нулевым модулем, то это значит что модуль этого второго числа равен нулю. Поскольку преобразования Лоренца задаются экспонентами от суммы параметров преобразований $$ e^{\sum e_i\varphi_i/2} $$ где $e_i$ - i-я мнимая единица и $\varphi_i$ - параметр при i-й единице, то модуль такого числа всегда равен единице. Соответственно, преобразование, соответствующее движению со скоростью света таким способом не может быть задано.
Рассмотрим одномерный вариант светового преобразования, оставив только координаты $ct$ и $x$. В бикватернионах им соответствуют единицы 1 и $Ii$.
Если есть неподвижный объект $$ dX = cdt $$ и мы должны получить движущийся со скоростью света $$ xX'=cdt'+Iidx' $$ где $$ dx'=cdt' $$ то $$ dX'=cdt'+Iicdt'=cdt'(1+Ii) $$ Следовательно, преобразованием, переводящим неподвижный объект в движущийся со скоростью света, в общем виде соответствует преобразование вида $$ 1+Ii $$ Учитывая, что мы ограничивались 1-мерным вариантом, у нас тут $i$ несет смысл единичного вектора. В общем случае такое преобразование неподвижного объекта имеет, следовательно, вид $$ 1+I\frac{i\alpha+j\beta+k\gamma}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}} $$ здесь величины $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ несут смысл направляющих косинусов. В случае если сами эти величины выбираются нормированно, то корень в знаменателе равен единице.
Собственно говоря, вот такие числа как $$ a+Iia $$ у которых величина или модуль равны нулю и будем называть нуль-модулями.
Движение света. Оглавление.
В посте об аберрации мы не пользовались формулой сложения скоростей, или композиции двух преобразований Лоренца. Мы просто применили одно преобразование Лоренца к вектору, означающему движение со скоростью света. К уже готовому вектору, а не полученному преобразованием Лоренца.
Неподвижный объект имеет приращение координат по прошествии времени $dt$ лишь по одной оси, временной: $$ dX=cdt $$ При преобразовании Лоренца, применяемому к такому объекту, сохраняется его величина $$ dX'^2=xX^2=c^2dt^2= $$ $$ =c^2dt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2 $$ И, если исходная величина $cdt$ была ненулевой, то после применения преобразования Лоренца она остается той же, то есть ненулевой.
Но движение со скоростью света имеет нулевую величину: $$ cdt'^2=dx'^2+dy'^2+dz'^2 $$ Следовательно, не существует такого преобразования Лоренца, которое переводило бы неподвижный объект в движущийся со скоростью света. В движущийся с любой, но досветовой скоростью - пожалуйста, но со световой - нет.
Те, кто оперирует представлениями группы преобразований Лоренца, используя $\gamma$-фактор $$ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ в этом случае вынуждены будут делить на ноль.
И, видимо, верно обратное - если объект движется со световой скоростью, то никакое преобразование Лоренца не переведет его ни в движущееся с досветовой скоростью, ни в неподвижный объект.
Но, тем не менее, свет движется и он существует в нашем пространстве. Если его нельзя описать преобразованиями Лоренца, то какими преобразованиями его можно описать?
В терминах гиперкомплексных чисел, если на число с ненулевым модулем умножить второе число и получаем число с нулевым модулем, то это значит что модуль этого второго числа равен нулю. Поскольку преобразования Лоренца задаются экспонентами от суммы параметров преобразований $$ e^{\sum e_i\varphi_i/2} $$ где $e_i$ - i-я мнимая единица и $\varphi_i$ - параметр при i-й единице, то модуль такого числа всегда равен единице. Соответственно, преобразование, соответствующее движению со скоростью света таким способом не может быть задано.
Рассмотрим одномерный вариант светового преобразования, оставив только координаты $ct$ и $x$. В бикватернионах им соответствуют единицы 1 и $Ii$.
Если есть неподвижный объект $$ dX = cdt $$ и мы должны получить движущийся со скоростью света $$ xX'=cdt'+Iidx' $$ где $$ dx'=cdt' $$ то $$ dX'=cdt'+Iicdt'=cdt'(1+Ii) $$ Следовательно, преобразованием, переводящим неподвижный объект в движущийся со скоростью света, в общем виде соответствует преобразование вида $$ 1+Ii $$ Учитывая, что мы ограничивались 1-мерным вариантом, у нас тут $i$ несет смысл единичного вектора. В общем случае такое преобразование неподвижного объекта имеет, следовательно, вид $$ 1+I\frac{i\alpha+j\beta+k\gamma}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}} $$ здесь величины $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ несут смысл направляющих косинусов. В случае если сами эти величины выбираются нормированно, то корень в знаменателе равен единице.
Собственно говоря, вот такие числа как $$ a+Iia $$ у которых величина или модуль равны нулю и будем называть нуль-модулями.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий