Если есть два различных нуль-модуля, то как и чем они могут отличаться, чтобы
считаться разными? Попробуем разобраться.
Мы будем рассматривать для начала лишь нуль-модули с ненулевой полярной частью: a+aIiαa+jβa+kγa√α2a+β2a+γ2a Очевидным отличием от другого нуль-модуля b+bIiαb+jβb+kγb√α2b+β2b+γ2b является соотношение направляющих косинусов α, β, γ, задающих направление векторных частей.
Вторым ключевым отличием является соотношение величин a и b. Не нужно думать, что если в задании нуль-модуля используются 4 числа, то это число 4-мерное. Поскольку на величину нуль-модуля наложено ограничение в равенстве нулю его модуля, все нель-модули задаются лишь 3-мя действительно независимыми компонентами. Направляющие косинусы α, β, γ в действительности связаны соотношением α2+β2+γ2=1 Независимой от них величиной является величина при действительной компоненте, при действительной мнимой единице, ето a и b в приведенных примерах соответственно.
Если модуль нуль-модулей равен нулю, то они могут иметь различные значения при действительных единицах, то могут ли эти значения описывать некую величину нуль-модулей? Назовем такое отличие величин с величиной 0 собственной величиной.
Рассмотрим для понимания произведение двух действительных чисел: a⋅1⋅b⋅1=ab⋅1 Здесь величины при действительной единице играют роль величины числа, а сама действительная единица 1 имеет свойство 1⋅1=1 Попробуем найти и для нуль-модулей такие, которые соответствуют тому же правилу, что произведение их есть это же число: A⋅A=A где A - нуль-модуль. В алгебре величины, для которых существует целое положительное число n и выполняется равенство An=A называются идемпотентами.
Рассмотрим одномерный вариант и найдем для него соответствующий для него идемпотент: A=x+Iix A2=(x+Iix)(x+Iix) A2=2x2+Ii2x2 Соответственно, чтобы число A было идемпотентом, должно выполняться условие, налагаемое на x: 2x2=x Следовательно, x=1/2 Соответственно, число 1/2+Ii/2 является идемпотентом при n начиная с 2 и больше: (1/2+Ii/2)n=1/2+Ii/2 Если нуль-модуль x+Iix представлять как произведение действительного числа на идемпотент, то такое действительное число n выполняет роль собственной величины нуль-модуля: x+Iix=2x(1/2+Ii/2) Соответственно, произведение двух нуль-модулей в определенном смысле аналогично произведению двух действительных чисел: (a+Iia)(b+Iib)= =2a(1/2+Ii/2)2b(1/2+Ii/2)= =4ab(1/2+Ii/2) И, если собственные величины нуль-модулей были равны соответственно 2a и 2b, то собственная величина их произведения равна 4ab. Не нужно путать собственную величину и модуль - модули и у первого и у второго числа и у их произведения равны 0.
Пытливый ум уже, конечно, обратил внимание на то, что изложение о свойствах идемпотентов велось для случая n=2: A2=A Да, можно использовать и другие степени. Посмотрим, к чему они приводят и как выглядят идемпотенты других степеней. Например, для степени 3: (x+Iix)3=4x3(1+Ii) Следовательно, для степени 3 идемпотентом будут являться числа 4x3=x x=√1/4=1/2 Продолжая для других степеней, получим для произвольной положительной целой степени n: (x+Iix)n=2n−1xn(1+Ii) Решая уравнение 2n−1xn=x получим x=1/2 Таким образом, в алгебре бикватернионов идемпотенты произвольной степени n совпадают с идемпотентами степени 2.
Движение света. Оглавление.
Мы будем рассматривать для начала лишь нуль-модули с ненулевой полярной частью: a+aIiαa+jβa+kγa√α2a+β2a+γ2a Очевидным отличием от другого нуль-модуля b+bIiαb+jβb+kγb√α2b+β2b+γ2b является соотношение направляющих косинусов α, β, γ, задающих направление векторных частей.
Вторым ключевым отличием является соотношение величин a и b. Не нужно думать, что если в задании нуль-модуля используются 4 числа, то это число 4-мерное. Поскольку на величину нуль-модуля наложено ограничение в равенстве нулю его модуля, все нель-модули задаются лишь 3-мя действительно независимыми компонентами. Направляющие косинусы α, β, γ в действительности связаны соотношением α2+β2+γ2=1 Независимой от них величиной является величина при действительной компоненте, при действительной мнимой единице, ето a и b в приведенных примерах соответственно.
Если модуль нуль-модулей равен нулю, то они могут иметь различные значения при действительных единицах, то могут ли эти значения описывать некую величину нуль-модулей? Назовем такое отличие величин с величиной 0 собственной величиной.
Рассмотрим для понимания произведение двух действительных чисел: a⋅1⋅b⋅1=ab⋅1 Здесь величины при действительной единице играют роль величины числа, а сама действительная единица 1 имеет свойство 1⋅1=1 Попробуем найти и для нуль-модулей такие, которые соответствуют тому же правилу, что произведение их есть это же число: A⋅A=A где A - нуль-модуль. В алгебре величины, для которых существует целое положительное число n и выполняется равенство An=A называются идемпотентами.
Рассмотрим одномерный вариант и найдем для него соответствующий для него идемпотент: A=x+Iix A2=(x+Iix)(x+Iix) A2=2x2+Ii2x2 Соответственно, чтобы число A было идемпотентом, должно выполняться условие, налагаемое на x: 2x2=x Следовательно, x=1/2 Соответственно, число 1/2+Ii/2 является идемпотентом при n начиная с 2 и больше: (1/2+Ii/2)n=1/2+Ii/2 Если нуль-модуль x+Iix представлять как произведение действительного числа на идемпотент, то такое действительное число n выполняет роль собственной величины нуль-модуля: x+Iix=2x(1/2+Ii/2) Соответственно, произведение двух нуль-модулей в определенном смысле аналогично произведению двух действительных чисел: (a+Iia)(b+Iib)= =2a(1/2+Ii/2)2b(1/2+Ii/2)= =4ab(1/2+Ii/2) И, если собственные величины нуль-модулей были равны соответственно 2a и 2b, то собственная величина их произведения равна 4ab. Не нужно путать собственную величину и модуль - модули и у первого и у второго числа и у их произведения равны 0.
Пытливый ум уже, конечно, обратил внимание на то, что изложение о свойствах идемпотентов велось для случая n=2: A2=A Да, можно использовать и другие степени. Посмотрим, к чему они приводят и как выглядят идемпотенты других степеней. Например, для степени 3: (x+Iix)3=4x3(1+Ii) Следовательно, для степени 3 идемпотентом будут являться числа 4x3=x x=√1/4=1/2 Продолжая для других степеней, получим для произвольной положительной целой степени n: (x+Iix)n=2n−1xn(1+Ii) Решая уравнение 2n−1xn=x получим x=1/2 Таким образом, в алгебре бикватернионов идемпотенты произвольной степени n совпадают с идемпотентами степени 2.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий