Движение света. Собственная величина нуль-модулей.

Если есть два различных нуль-модуля, то как и чем они могут отличаться, чтобы считаться разными? Попробуем разобраться.

Мы будем рассматривать для начала лишь нуль-модули с ненулевой полярной частью: $$a+aI\frac{i\alpha_a+j\beta_a+k\gamma_a}{\sqrt{\alpha_a^2+\beta_a^2+\gamma_a^2}}$$ Очевидным отличием от другого нуль-модуля $$b+bI\frac{i\alpha_b+j\beta_b+k\gamma_b}{\sqrt{\alpha_b^2+\beta_b^2+\gamma_b^2}}$$ является соотношение направляющих косинусов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, задающих направление векторных частей.

Вторым ключевым отличием является соотношение величин $a$ и $b$. Не нужно думать, что если в задании нуль-модуля используются 4 числа, то это число 4-мерное. Поскольку на величину нуль-модуля наложено ограничение в равенстве нулю его модуля, все нель-модули задаются лишь 3-мя действительно независимыми компонентами. Направляющие косинусы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ в действительности связаны соотношением $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1$$ Независимой от них величиной является величина при действительной компоненте, при действительной мнимой единице, ето $a$ и $b$ в приведенных примерах соответственно.

Если модуль нуль-модулей равен нулю, то они могут иметь различные значения при действительных единицах, то могут ли эти значения описывать некую величину нуль-модулей? Назовем такое отличие величин с величиной 0 собственной величиной.

Рассмотрим для понимания произведение двух действительных чисел: $$a \cdot 1\cdot b \cdot 1 = ab \cdot 1$$ Здесь величины при действительной единице играют роль величины числа, а сама действительная единица 1 имеет свойство $$1 \cdot 1 = 1$$ Попробуем найти и для нуль-модулей такие, которые соответствуют тому же правилу, что произведение их есть это же число: $$A \cdot A = A$$ где $A$ - нуль-модуль. В алгебре величины, для которых существует целое положительное число $n$ и выполняется равенство $$A^n=A$$ называются идемпотентами.

Рассмотрим одномерный вариант и найдем для него соответствующий для него идемпотент: $$A=x+Iix$$ $$A^2=(x+Iix)(x+Iix)$$ $$A^2=2x^2+Ii2x^2$$ Соответственно, чтобы число $A$ было идемпотентом, должно выполняться условие, налагаемое на $x$: $$2x^2=x$$ Следовательно, $$x=1/2$$ Соответственно, число $$1/2+Ii/2$$ является идемпотентом при $n$ начиная с 2 и больше: $$(1/2+Ii/2)^n=1/2+Ii/2$$ Если нуль-модуль $$x+Iix$$ представлять как произведение действительного числа на идемпотент, то такое действительное число $n$ выполняет роль собственной величины нуль-модуля: $$x+Iix = 2x(1/2+Ii/2)$$ Соответственно, произведение двух нуль-модулей в определенном смысле аналогично произведению двух действительных чисел: $$(a+Iia)(b+Iib)=$$ $$=2a(1/2+Ii/2)2b(1/2+Ii/2)=$$ $$=4ab(1/2+Ii/2)$$ И, если собственные величины нуль-модулей были равны соответственно $2a$ и $2b$, то собственная величина их произведения равна $4ab$. Не нужно путать собственную величину и модуль - модули и у первого и у второго числа и у их произведения равны 0.

Пытливый ум уже, конечно, обратил внимание на то, что изложение о свойствах идемпотентов велось для случая $n=2$: $$A^2=A$$ Да, можно использовать и другие степени. Посмотрим, к чему они приводят и как выглядят идемпотенты других степеней. Например, для степени 3: $$(x+Iix)^3=4x^3(1+Ii)$$ Следовательно, для степени 3 идемпотентом будут являться числа $$4x^3=x$$ $$x=\sqrt{1/4}=1/2$$ Продолжая для других степеней, получим для произвольной положительной целой степени $n$: $$(x+Iix)^n=2^{n-1}x^n(1+Ii)$$ Решая уравнение $$2^{n-1}x^n=x$$ получим $$x=1/2$$ Таким образом, в алгебре бикватернионов идемпотенты произвольной степени $n$ совпадают с идемпотентами степени 2.

Движение света. Оглавление.