Можно ли преобразования движения света объединить в одну группу с уже известными
преобразованиями Лоренца? Попробуем разобраться.
Полуоператоры преобразований Лоренца являются друг другу скалярно-векторно сопряженными: X′=LXˉL∗ где L∗ - скалярное сопряжение, ˉL - векторное сопряжение и |L|=1 Для нуль-модулей получить скалярно-векторное сопряжение точно также не представляет проблем, как и для других бикватернионов. Например: A=1+Ii A∗=1−Ii ˉA=1−Ii ˉA∗=1+Ii Или в более сложном случае: B=1+Ii+Ij−k B∗=1−Ii−Ij−k ˉB=1−Ii−Ij+k ˉB∗=1+Ii+Ij+k И, для того, чтобы последовтельность преобразований образовывала преобразование того же рода, нужно чтобы правый полуоператор оставался скалярно-векторно сопряженным левому.
Для этого мы слева ставим нуль-модуль, справа - ему скалярно-векторно сопряженный, например: X′=(1+Ii)X(1+Ii) или X′=(1+Ii+Ij−k)X(1+Ii+Ij−k) Очевидно, что в силу специфики нуль-модулей у них обратное число устроено так, что произведение нуль-модуля на обратное ему дает 0. Поэтому у нуль-модулей множество обратных.
Аналогом требования |L|=1 в случае нуль-модулей может быть их собственная единичность. Причем, поскольку в преобразование входят и левый и правый полуоператоры, логично потребовать собственную единичность (единичность собственной величины) для отдельно каждого из них.
Как ранее было выяснено, если нуль-модуль имеет собственную величину 1, значит он может быть представлен в виде идемпотента, умноженного как слева, так и справа на единичные бикватернионы или образовывать более сложную композицию из идемпотентов и единичных бикватернионов. В такой композиции каждый единичный бикватернион соответствует преобразованию Лоренца, а каждый идемпотент соответствует преобразованию движения света.
В простом случае при движении вдоль оси x (компонента i) такое преобразование выглядит так: X′=(1/2+Ii/2)X(1/2+Ii/2) В случае если движение ведется не только вдоль одной орты, а вдоль вектора в 3-мерном полярном пространстве, то такое преобразование в общем виде имеет вид: X=(1/2+V/2)X(1/2+V/2) Здесь V - единичный полярный вектор: v=IiVx+IjVy+IkVz |V|=√V2x+V2y+V2z=1 Собственно говоря, именно получение полуоператоров, стоящих в одной композиции с преобразованиями Лоренца, и было изначальной целью. Здесь в последовательности (1/2+V1/2)L2(1/2+V1/2)L1 стоят преобразования Лоренца L1 и L2, преобразования движения света V1 и V2. Объединение таких преобразований в одну группу требует уточнений, а именно:
а) величина полуоператора не строго единица, а может быть как единицей, так и нулем.
б) если ведичина полуоператора ноль, то его собственная величина единица либо он является композицией, содержащей нуль-модуль с собственной величиной единица.
в) если у полуоператора величина ноль, то у такого преобразования нет обратного.
г) если в композицию преобразований входит хотя бы одно преобразование с величиной 0, то вся композиция есть преобразование движения света.
Здесь пункт "в" показывает, что можно построить преобразование переводящее досветовое движение в световое, но не существует преобразования переводящего световое движение в досветовое - объект должен перестать быть вообще если перестает двигаться со скоростью света.
Рассмотрим элементарное, простое преобразование света, примененное к 4-мерному вектору. Для начала введем определения участвующих величин.
Преобразование движения света a=1/2+V/2 V=IiV1+IjV2+IkV3 |V|=√V21+V22+V23=1 4-мерный преобразуемый вектор X: X=X0+Xv Xv=IiX1+IjX2+IkX3 В результате преобразования получаем преобразованный 4-мерный вектор X′: X′=(1/2+V/2)(X0+Xv)(1/2+V/2) Раскрывая скобки, сокращая одинаковые величины с противоположными знаками, и, используя свойства векторного и двойного векторного произведений, получаем выражения для преобразованного вектора X′: X′0=12(X0+(V,Xv)) X′v=12V(X0+(V,Xv)) здесь (V,Xv) - скалярное произведение 3-мерных векторов V и Xv.
Учитывая, что величина |V|=1, здесь видно, что вне зависимости от исходного вектора X и вне зависимости от соотношений между X0 и Xv, в получающемся преобразовании вектора скалярная и векторная части равны, следовательно, мы всегда получаем нуль-модуль, причем применение преобразований Лоренца в любой композиции не изменяет равенство модуля нулю, поскольку преобразования Лоренца сохраняют величину модуля: X′=LXˉX∗ X′20−X′2v=X20−X2v Полученные выше формулы для преобразованного вектора X′ из исходного вектора X и есть ключевые формулы для анализа движения света.
В приведенной формуле Xv является вектором и его направление соответствует физически воспроизводимому направлению. По величине V является вектором параметра преобразования, поэтому её величина соответствует вектору скорости с обратным знаком.
Движение света. Оглавление.
Полуоператоры преобразований Лоренца являются друг другу скалярно-векторно сопряженными: X′=LXˉL∗ где L∗ - скалярное сопряжение, ˉL - векторное сопряжение и |L|=1 Для нуль-модулей получить скалярно-векторное сопряжение точно также не представляет проблем, как и для других бикватернионов. Например: A=1+Ii A∗=1−Ii ˉA=1−Ii ˉA∗=1+Ii Или в более сложном случае: B=1+Ii+Ij−k B∗=1−Ii−Ij−k ˉB=1−Ii−Ij+k ˉB∗=1+Ii+Ij+k И, для того, чтобы последовтельность преобразований образовывала преобразование того же рода, нужно чтобы правый полуоператор оставался скалярно-векторно сопряженным левому.
Для этого мы слева ставим нуль-модуль, справа - ему скалярно-векторно сопряженный, например: X′=(1+Ii)X(1+Ii) или X′=(1+Ii+Ij−k)X(1+Ii+Ij−k) Очевидно, что в силу специфики нуль-модулей у них обратное число устроено так, что произведение нуль-модуля на обратное ему дает 0. Поэтому у нуль-модулей множество обратных.
Аналогом требования |L|=1 в случае нуль-модулей может быть их собственная единичность. Причем, поскольку в преобразование входят и левый и правый полуоператоры, логично потребовать собственную единичность (единичность собственной величины) для отдельно каждого из них.
Как ранее было выяснено, если нуль-модуль имеет собственную величину 1, значит он может быть представлен в виде идемпотента, умноженного как слева, так и справа на единичные бикватернионы или образовывать более сложную композицию из идемпотентов и единичных бикватернионов. В такой композиции каждый единичный бикватернион соответствует преобразованию Лоренца, а каждый идемпотент соответствует преобразованию движения света.
В простом случае при движении вдоль оси x (компонента i) такое преобразование выглядит так: X′=(1/2+Ii/2)X(1/2+Ii/2) В случае если движение ведется не только вдоль одной орты, а вдоль вектора в 3-мерном полярном пространстве, то такое преобразование в общем виде имеет вид: X=(1/2+V/2)X(1/2+V/2) Здесь V - единичный полярный вектор: v=IiVx+IjVy+IkVz |V|=√V2x+V2y+V2z=1 Собственно говоря, именно получение полуоператоров, стоящих в одной композиции с преобразованиями Лоренца, и было изначальной целью. Здесь в последовательности (1/2+V1/2)L2(1/2+V1/2)L1 стоят преобразования Лоренца L1 и L2, преобразования движения света V1 и V2. Объединение таких преобразований в одну группу требует уточнений, а именно:
а) величина полуоператора не строго единица, а может быть как единицей, так и нулем.
б) если ведичина полуоператора ноль, то его собственная величина единица либо он является композицией, содержащей нуль-модуль с собственной величиной единица.
в) если у полуоператора величина ноль, то у такого преобразования нет обратного.
г) если в композицию преобразований входит хотя бы одно преобразование с величиной 0, то вся композиция есть преобразование движения света.
Здесь пункт "в" показывает, что можно построить преобразование переводящее досветовое движение в световое, но не существует преобразования переводящего световое движение в досветовое - объект должен перестать быть вообще если перестает двигаться со скоростью света.
Рассмотрим элементарное, простое преобразование света, примененное к 4-мерному вектору. Для начала введем определения участвующих величин.
Преобразование движения света a=1/2+V/2 V=IiV1+IjV2+IkV3 |V|=√V21+V22+V23=1 4-мерный преобразуемый вектор X: X=X0+Xv Xv=IiX1+IjX2+IkX3 В результате преобразования получаем преобразованный 4-мерный вектор X′: X′=(1/2+V/2)(X0+Xv)(1/2+V/2) Раскрывая скобки, сокращая одинаковые величины с противоположными знаками, и, используя свойства векторного и двойного векторного произведений, получаем выражения для преобразованного вектора X′: X′0=12(X0+(V,Xv)) X′v=12V(X0+(V,Xv)) здесь (V,Xv) - скалярное произведение 3-мерных векторов V и Xv.
Учитывая, что величина |V|=1, здесь видно, что вне зависимости от исходного вектора X и вне зависимости от соотношений между X0 и Xv, в получающемся преобразовании вектора скалярная и векторная части равны, следовательно, мы всегда получаем нуль-модуль, причем применение преобразований Лоренца в любой композиции не изменяет равенство модуля нулю, поскольку преобразования Лоренца сохраняют величину модуля: X′=LXˉX∗ X′20−X′2v=X20−X2v Полученные выше формулы для преобразованного вектора X′ из исходного вектора X и есть ключевые формулы для анализа движения света.
В приведенной формуле Xv является вектором и его направление соответствует физически воспроизводимому направлению. По величине V является вектором параметра преобразования, поэтому её величина соответствует вектору скорости с обратным знаком.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий