Движение света. Группа движений.

Можно ли преобразования движения света объединить в одну группу с уже известными преобразованиями Лоренца? Попробуем разобраться.

Полуоператоры преобразований Лоренца являются друг другу скалярно-векторно сопряженными: $$X'=LX\bar{L}^*$$ где $L^*$ - скалярное сопряжение, $\bar{L}$ - векторное сопряжение и $$|L|=1$$ Для нуль-модулей получить скалярно-векторное сопряжение точно также не представляет проблем, как и для других бикватернионов. Например: $$A=1+Ii$$ $$A^*=1-Ii$$ $$\bar{A}=1-Ii$$ $$\bar{A}^*=1+Ii$$ Или в более сложном случае: $$B=1+Ii+Ij-k$$ $$B^*=1-Ii-Ij-k$$ $$\bar{B}=1-Ii-Ij+k$$ $$\bar{B}^*=1+Ii+Ij+k$$ И, для того, чтобы последовтельность преобразований образовывала преобразование того же рода, нужно чтобы правый полуоператор оставался скалярно-векторно сопряженным левому.

Для этого мы слева ставим нуль-модуль, справа - ему скалярно-векторно сопряженный, например: $$X'=(1+Ii)X(1+Ii)$$ или $$X'=(1+Ii+Ij-k)X(1+Ii+Ij-k)$$ Очевидно, что в силу специфики нуль-модулей у них обратное число устроено так, что произведение нуль-модуля на обратное ему дает 0. Поэтому у нуль-модулей множество обратных.

Аналогом требования $|L|=1$ в случае нуль-модулей может быть их собственная единичность. Причем, поскольку в преобразование входят и левый и правый полуоператоры, логично потребовать собственную единичность (единичность собственной величины) для отдельно каждого из них.

Как ранее было выяснено, если нуль-модуль имеет собственную величину 1, значит он может быть представлен в виде идемпотента, умноженного как слева, так и справа на единичные бикватернионы или образовывать более сложную композицию из идемпотентов и единичных бикватернионов. В такой композиции каждый единичный бикватернион соответствует преобразованию Лоренца, а каждый идемпотент соответствует преобразованию движения света.

В простом случае при движении вдоль оси x (компонента i) такое преобразование выглядит так: $$X'=(1/2+Ii/2)X(1/2+Ii/2)$$ В случае если движение ведется не только вдоль одной орты, а вдоль вектора в 3-мерном полярном пространстве, то такое преобразование в общем виде имеет вид: $$X=(1/2+V/2)X(1/2+V/2)$$ Здесь $V$ - единичный полярный вектор: $$v=IiV_x+IjV_y+IkV_z$$ $$|V|=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}=1$$ Собственно говоря, именно получение полуоператоров, стоящих в одной композиции с преобразованиями Лоренца, и было изначальной целью. Здесь в последовательности $$(1/2+V_1/2)L_2(1/2+V_1/2)L1$$ стоят преобразования Лоренца $L_1$ и $L_2$, преобразования движения света $V_1$ и $V_2$. Объединение таких преобразований в одну группу требует уточнений, а именно:

а) величина полуоператора не строго единица, а может быть как единицей, так и нулем.

б) если ведичина полуоператора ноль, то его собственная величина единица либо он является композицией, содержащей нуль-модуль с собственной величиной единица.

в) если у полуоператора величина ноль, то у такого преобразования нет обратного.

г) если в композицию преобразований входит хотя бы одно преобразование с величиной 0, то вся композиция есть преобразование движения света.

Здесь пункт "в" показывает, что можно построить преобразование переводящее досветовое движение в световое, но не существует преобразования переводящего световое движение в досветовое - объект должен перестать быть вообще если перестает двигаться со скоростью света.

Рассмотрим элементарное, простое преобразование света, примененное к 4-мерному вектору. Для начала введем определения участвующих величин.

Преобразование движения света $$a=1/2+V/2$$ $$V=IiV_1+IjV_2+IkV_3$$ $$|V|=\sqrt{V_1^2+V_2^2+V_3^2}=1$$ 4-мерный преобразуемый вектор $X$: $$X=X_0+X_v$$ $$X_v=IiX_1+IjX_2+IkX_3$$ В результате преобразования получаем преобразованный 4-мерный вектор $X'$: $$X'=(1/2+V/2)(X_0+X_v)(1/2+V/2)$$ Раскрывая скобки, сокращая одинаковые величины с противоположными знаками, и, используя свойства векторного и двойного векторного произведений, получаем выражения для преобразованного вектора $X'$: $$X'_0=\frac{1}{2}(X_0+(V,X_v))$$ $$X'_v=\frac{1}{2}V(X_0+(V,X_v))$$ здесь $(V,X_v)$ - скалярное произведение 3-мерных векторов $V$ и $X_v$.

Учитывая, что величина $|V|=1$, здесь видно, что вне зависимости от исходного вектора $X$ и вне зависимости от соотношений между $X_0$ и $X_v$, в получающемся преобразовании вектора скалярная и векторная части равны, следовательно, мы всегда получаем нуль-модуль, причем применение преобразований Лоренца в любой композиции не изменяет равенство модуля нулю, поскольку преобразования Лоренца сохраняют величину модуля: $$X'=LX\bar{X}^*$$ $${X'}_0^2-{X'}_v^2=X_0^2-X_v^2$$ Полученные выше формулы для преобразованного вектора $X'$ из исходного вектора $X$ и есть ключевые формулы для анализа движения света.

В приведенной формуле $X_v$ является вектором и его направление соответствует физически воспроизводимому направлению. По величине $V$ является вектором параметра преобразования, поэтому её величина соответствует вектору скорости с обратным знаком.

Движение света. Оглавление.