Какие гиперкомплексные числа относятся к нуль-модулям и какие они бывают?
Попробуем разобраться.
В целом, к нуль-модулям относятся все бикватернионы (а мы в интересах теории относительности оперируем ими), для которых полимодуль равен 0.
Если есть бикватернион $A$: $$ A = a_0 + A_{pol} + Ia_4 + A_{ax} $$ где соответственно полярная и аксиальная части равны: $$ A_{pol}Iia_1+Ija_2+Ika_3 $$ $$ A_{ax}=ia_5+ja_6+ka_7 $$ то полимодуль такого бикватерниона равен: $$ P(a)=(4(A_{pol},A_{ax})^2+8a_0a_4(A_{pol},A_{ax}) + A_{pol}^4- $$ $$ -2A_{ax}^2A_{pol}^2 + 2a_4^2A_{pol}^2 - 2a_0^2A_{pol}^2 + A_{ax}^4 - $$ $$ - 2a_4^2A_{ax}^2 + 2a_0A_{ax}^2 + a_4^4 + 2a_0^2a_4^2+a_0^4) $$ Здесь через $(A_{pol},A_{ax})$ обозначено как-бы скалярное произведение 3-мерных векторов.
Как один из вариантов упрощения такого выражения можно использовать $$ P(a)=(4((A_{pol},A_{ax})+a_0a_4) + (a_4^2-a_0^2+A_{pol}^2 - A_{ax}^2)^2)^2 $$ Ранее мы имели дело с сильно упрощенными нуль-модулями вида $$ 1+Ii $$ или $$ \alpha(1+Ii) $$ В действительности, конечно, к нуль-модулям относятся не только бикватернионы такого вида, но и любые другие, у которых полимодуль равен 0.
Здесь я специально использую задание через полимодуль, а не через модуль. Для проверки на равенство нулю модуля сперва нужно найти алгебраически сопряженное число, а для нуль-модулей как раз это и не получится сделать в общем виде.
Если бикватернион образован произведениями других, из которых хотя бы один является нуль-модулем, то такое произведение в целом также является нуль-модулем, например: $$ I(1+Ii)=I-i $$ также является нуль-модулем.
Среди нуль-модулей выделяется часть бикватернионов, удовлетворяющая условию: $$ Scl^2(q)-Vec^2(q)=0 $$ где $Scl(q)$ - скалярная часть бикватерниона, в $Vec(q)$ - его векторная часть.
В случае если обе части в квадрате равны 0 $$ Scl^2(q)=0 $$ $$ Vec^2(q)=0 $$ то такие бикватернионы являются нильпотентами. Для нильпотентов справедливо утверждение, что существует такое целое положительное число $n$, начиная с которого $$ q^n=0 $$ Для бикватернионов и для $n=2$ можно привести пример такого нильпотента: $$ q=Ii+j $$ Вообще говоря, годится любой бикватернион с нулевой скалярной частью и равными по абсолютной величине, но векторно перпендикулярными полярной и аксиальной частями. Соответственно, к нильпотентам также автоматически относятся также бикватернионы, умноженные на произвольное комплексное число: $$ ((a+Ib)(Ii+j))^2=0 $$ Хотя для них скалярная часть уже может быть и не равна в квадрате нулю.
В случае если скалярная и векторная части в квадрате по отдельности не равны нулю, но в целом все равно выполняется соотношение $$ Scl^2(q)-Vec^2(q)=0 $$ то такой бикватернион является либо идемпотентом, либо идемпотентом умноженным на комплексное число. Идемпотентом называется такое число, для которого существует целое положительное число $n$, и выполняется соотношение $$ q^n=q $$ Для бикватернионов и $n=2$ можно привести пример такого идемпотента: $$ q=1/2+Ii/2 $$ Вообще говоря, годится любой бикватернион с единичным полярным вектором вместо $Ii$.
Нужно понимать, что если бикватернион является нуль-модулем, то он может не быть ни идемпотентом, ни нильпотентом. В частности, произведение идемпотента на неколлинеарный ему идемпотент не является ни идемпотентом ни нильпотентом.
Для композиций нуль-модулей можно сказать, что в силу того что их величины равны 0, то уравнения вида $$ AX=B $$ не являются однозначно разрешимы относительно $X$ если $A$ и $B$ являются нуль-модулями.
Этот факт приводит к тому, что произведение $$ A_1A_2=B $$ при выбранном $A_1$ может иметь не единственное выражение для $A_2$. И, в случае если $A_i$ - это преобразования, то $B$ как их композиция может быть представлена по-разному.
В этом состоит еще одно отличие преобразований движения со скоростью света от преобразований Лоренца. Для преобразований Лоренца уравнение $$ AX=B $$ разрешимо относительно $X$ однозначно. Иначе говоря, если $A$ и $B$ - преобразования, то для преобразований Лоренца значение $X$ однощначно, а для преобразований движения света - нет.
Приведем для иллюстрации пример. Пусть есть 2 преобразования движения со скоростью света: $$ a=1+Ii $$ $$ b=1+Ij $$ Множитель $1/2$ для простоты опустим как не существенный для иллюстрирации.
Эти два преобразования являются взаимно перпендикулярными по своим направлениям, поскольку единицы $Ij$ и $Ij$ ортогональны. Найдем их произведение: $$ (1+Ii)(1+Ij)=1+Ii+Ij-k $$ Здесь мы видим произведение двух нуль-модулей. Это же число можно представить как произведение лишь одного нуль-модуля на число с ненулевой величиной: $$ (1+Ii)(1-k)=1-k+Ii+Ij $$ Следовательно, выполняется равенство: $$ (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1-k) $$ хотя $$ 1+Ij\neq 1-k $$ Формулировка о разложении произведения нуль-модулей на произведение нуль-модуля на число с ненулевой величиной выглядит оправданно осторожной, поскольку речь идет именно о ненулевой, а не единичной величине.
Приведем для выбранных нуль-модулей также остальные варианты комбинирований: $$ (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1-k) $$ $$ (1+Ii)(1+Ij)=(1+k)(1+Ij) $$ $$ (1+Ij)(1+Ii)=(1+k)(1+Ii) $$ $$ (1+Ij)(1+Ii)=(1+Ij)(1+k) $$ Если перейти к собственным величинам, то получим: $$ (1/2+Ii/2)(1/2+Ij/2)=(1/2+Ii/2)(1/2-k/2) $$ Но величина числа $$ 1/2-k/2 $$ уже не единица: $$ |1/2-k/2|=\sqrt{1/4+1/4}=\sqrt{2}/2 $$ В алгебре описываемые здесь под названием "нуль-модули" объекты имеют более распространенное название "делители нуля". Собственно, именно отличие их свойств в некоторых операциях от свойств обычных чисел алгебр и вызывает осторожное к ним отношение.
Движение света. Оглавление.
В целом, к нуль-модулям относятся все бикватернионы (а мы в интересах теории относительности оперируем ими), для которых полимодуль равен 0.
Если есть бикватернион $A$: $$ A = a_0 + A_{pol} + Ia_4 + A_{ax} $$ где соответственно полярная и аксиальная части равны: $$ A_{pol}Iia_1+Ija_2+Ika_3 $$ $$ A_{ax}=ia_5+ja_6+ka_7 $$ то полимодуль такого бикватерниона равен: $$ P(a)=(4(A_{pol},A_{ax})^2+8a_0a_4(A_{pol},A_{ax}) + A_{pol}^4- $$ $$ -2A_{ax}^2A_{pol}^2 + 2a_4^2A_{pol}^2 - 2a_0^2A_{pol}^2 + A_{ax}^4 - $$ $$ - 2a_4^2A_{ax}^2 + 2a_0A_{ax}^2 + a_4^4 + 2a_0^2a_4^2+a_0^4) $$ Здесь через $(A_{pol},A_{ax})$ обозначено как-бы скалярное произведение 3-мерных векторов.
Как один из вариантов упрощения такого выражения можно использовать $$ P(a)=(4((A_{pol},A_{ax})+a_0a_4) + (a_4^2-a_0^2+A_{pol}^2 - A_{ax}^2)^2)^2 $$ Ранее мы имели дело с сильно упрощенными нуль-модулями вида $$ 1+Ii $$ или $$ \alpha(1+Ii) $$ В действительности, конечно, к нуль-модулям относятся не только бикватернионы такого вида, но и любые другие, у которых полимодуль равен 0.
Здесь я специально использую задание через полимодуль, а не через модуль. Для проверки на равенство нулю модуля сперва нужно найти алгебраически сопряженное число, а для нуль-модулей как раз это и не получится сделать в общем виде.
Если бикватернион образован произведениями других, из которых хотя бы один является нуль-модулем, то такое произведение в целом также является нуль-модулем, например: $$ I(1+Ii)=I-i $$ также является нуль-модулем.
Среди нуль-модулей выделяется часть бикватернионов, удовлетворяющая условию: $$ Scl^2(q)-Vec^2(q)=0 $$ где $Scl(q)$ - скалярная часть бикватерниона, в $Vec(q)$ - его векторная часть.
В случае если обе части в квадрате равны 0 $$ Scl^2(q)=0 $$ $$ Vec^2(q)=0 $$ то такие бикватернионы являются нильпотентами. Для нильпотентов справедливо утверждение, что существует такое целое положительное число $n$, начиная с которого $$ q^n=0 $$ Для бикватернионов и для $n=2$ можно привести пример такого нильпотента: $$ q=Ii+j $$ Вообще говоря, годится любой бикватернион с нулевой скалярной частью и равными по абсолютной величине, но векторно перпендикулярными полярной и аксиальной частями. Соответственно, к нильпотентам также автоматически относятся также бикватернионы, умноженные на произвольное комплексное число: $$ ((a+Ib)(Ii+j))^2=0 $$ Хотя для них скалярная часть уже может быть и не равна в квадрате нулю.
В случае если скалярная и векторная части в квадрате по отдельности не равны нулю, но в целом все равно выполняется соотношение $$ Scl^2(q)-Vec^2(q)=0 $$ то такой бикватернион является либо идемпотентом, либо идемпотентом умноженным на комплексное число. Идемпотентом называется такое число, для которого существует целое положительное число $n$, и выполняется соотношение $$ q^n=q $$ Для бикватернионов и $n=2$ можно привести пример такого идемпотента: $$ q=1/2+Ii/2 $$ Вообще говоря, годится любой бикватернион с единичным полярным вектором вместо $Ii$.
Нужно понимать, что если бикватернион является нуль-модулем, то он может не быть ни идемпотентом, ни нильпотентом. В частности, произведение идемпотента на неколлинеарный ему идемпотент не является ни идемпотентом ни нильпотентом.
Для композиций нуль-модулей можно сказать, что в силу того что их величины равны 0, то уравнения вида $$ AX=B $$ не являются однозначно разрешимы относительно $X$ если $A$ и $B$ являются нуль-модулями.
Этот факт приводит к тому, что произведение $$ A_1A_2=B $$ при выбранном $A_1$ может иметь не единственное выражение для $A_2$. И, в случае если $A_i$ - это преобразования, то $B$ как их композиция может быть представлена по-разному.
В этом состоит еще одно отличие преобразований движения со скоростью света от преобразований Лоренца. Для преобразований Лоренца уравнение $$ AX=B $$ разрешимо относительно $X$ однозначно. Иначе говоря, если $A$ и $B$ - преобразования, то для преобразований Лоренца значение $X$ однощначно, а для преобразований движения света - нет.
Приведем для иллюстрации пример. Пусть есть 2 преобразования движения со скоростью света: $$ a=1+Ii $$ $$ b=1+Ij $$ Множитель $1/2$ для простоты опустим как не существенный для иллюстрирации.
Эти два преобразования являются взаимно перпендикулярными по своим направлениям, поскольку единицы $Ij$ и $Ij$ ортогональны. Найдем их произведение: $$ (1+Ii)(1+Ij)=1+Ii+Ij-k $$ Здесь мы видим произведение двух нуль-модулей. Это же число можно представить как произведение лишь одного нуль-модуля на число с ненулевой величиной: $$ (1+Ii)(1-k)=1-k+Ii+Ij $$ Следовательно, выполняется равенство: $$ (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1-k) $$ хотя $$ 1+Ij\neq 1-k $$ Формулировка о разложении произведения нуль-модулей на произведение нуль-модуля на число с ненулевой величиной выглядит оправданно осторожной, поскольку речь идет именно о ненулевой, а не единичной величине.
Приведем для выбранных нуль-модулей также остальные варианты комбинирований: $$ (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1-k) $$ $$ (1+Ii)(1+Ij)=(1+k)(1+Ij) $$ $$ (1+Ij)(1+Ii)=(1+k)(1+Ii) $$ $$ (1+Ij)(1+Ii)=(1+Ij)(1+k) $$ Если перейти к собственным величинам, то получим: $$ (1/2+Ii/2)(1/2+Ij/2)=(1/2+Ii/2)(1/2-k/2) $$ Но величина числа $$ 1/2-k/2 $$ уже не единица: $$ |1/2-k/2|=\sqrt{1/4+1/4}=\sqrt{2}/2 $$ В алгебре описываемые здесь под названием "нуль-модули" объекты имеют более распространенное название "делители нуля". Собственно, именно отличие их свойств в некоторых операциях от свойств обычных чисел алгебр и вызывает осторожное к ним отношение.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий