Какие гиперкомплексные числа относятся к нуль-модулям и какие они бывают?
Попробуем разобраться.
В целом, к нуль-модулям относятся все бикватернионы (а мы в интересах теории относительности оперируем ими), для которых полимодуль равен 0.
Если есть бикватернион A: A=a0+Apol+Ia4+Aax где соответственно полярная и аксиальная части равны: ApolIia1+Ija2+Ika3 Aax=ia5+ja6+ka7 то полимодуль такого бикватерниона равен: P(a)=(4(Apol,Aax)2+8a0a4(Apol,Aax)+A4pol− −2A2axA2pol+2a24A2pol−2a20A2pol+A4ax− −2a24A2ax+2a0A2ax+a44+2a20a24+a40) Здесь через (Apol,Aax) обозначено как-бы скалярное произведение 3-мерных векторов.
Как один из вариантов упрощения такого выражения можно использовать P(a)=(4((Apol,Aax)+a0a4)+(a24−a20+A2pol−A2ax)2)2 Ранее мы имели дело с сильно упрощенными нуль-модулями вида 1+Ii или α(1+Ii) В действительности, конечно, к нуль-модулям относятся не только бикватернионы такого вида, но и любые другие, у которых полимодуль равен 0.
Здесь я специально использую задание через полимодуль, а не через модуль. Для проверки на равенство нулю модуля сперва нужно найти алгебраически сопряженное число, а для нуль-модулей как раз это и не получится сделать в общем виде.
Если бикватернион образован произведениями других, из которых хотя бы один является нуль-модулем, то такое произведение в целом также является нуль-модулем, например: I(1+Ii)=I−i также является нуль-модулем.
Среди нуль-модулей выделяется часть бикватернионов, удовлетворяющая условию: Scl2(q)−Vec2(q)=0 где Scl(q) - скалярная часть бикватерниона, в Vec(q) - его векторная часть.
В случае если обе части в квадрате равны 0 Scl2(q)=0 Vec2(q)=0 то такие бикватернионы являются нильпотентами. Для нильпотентов справедливо утверждение, что существует такое целое положительное число n, начиная с которого qn=0 Для бикватернионов и для n=2 можно привести пример такого нильпотента: q=Ii+j Вообще говоря, годится любой бикватернион с нулевой скалярной частью и равными по абсолютной величине, но векторно перпендикулярными полярной и аксиальной частями. Соответственно, к нильпотентам также автоматически относятся также бикватернионы, умноженные на произвольное комплексное число: ((a+Ib)(Ii+j))2=0 Хотя для них скалярная часть уже может быть и не равна в квадрате нулю.
В случае если скалярная и векторная части в квадрате по отдельности не равны нулю, но в целом все равно выполняется соотношение Scl2(q)−Vec2(q)=0 то такой бикватернион является либо идемпотентом, либо идемпотентом умноженным на комплексное число. Идемпотентом называется такое число, для которого существует целое положительное число n, и выполняется соотношение qn=q Для бикватернионов и n=2 можно привести пример такого идемпотента: q=1/2+Ii/2 Вообще говоря, годится любой бикватернион с единичным полярным вектором вместо Ii.
Нужно понимать, что если бикватернион является нуль-модулем, то он может не быть ни идемпотентом, ни нильпотентом. В частности, произведение идемпотента на неколлинеарный ему идемпотент не является ни идемпотентом ни нильпотентом.
Для композиций нуль-модулей можно сказать, что в силу того что их величины равны 0, то уравнения вида AX=B не являются однозначно разрешимы относительно X если A и B являются нуль-модулями.
Этот факт приводит к тому, что произведение A1A2=B при выбранном A1 может иметь не единственное выражение для A2. И, в случае если Ai - это преобразования, то B как их композиция может быть представлена по-разному.
В этом состоит еще одно отличие преобразований движения со скоростью света от преобразований Лоренца. Для преобразований Лоренца уравнение AX=B разрешимо относительно X однозначно. Иначе говоря, если A и B - преобразования, то для преобразований Лоренца значение X однощначно, а для преобразований движения света - нет.
Приведем для иллюстрации пример. Пусть есть 2 преобразования движения со скоростью света: a=1+Ii b=1+Ij Множитель 1/2 для простоты опустим как не существенный для иллюстрирации.
Эти два преобразования являются взаимно перпендикулярными по своим направлениям, поскольку единицы Ij и Ij ортогональны. Найдем их произведение: (1+Ii)(1+Ij)=1+Ii+Ij−k Здесь мы видим произведение двух нуль-модулей. Это же число можно представить как произведение лишь одного нуль-модуля на число с ненулевой величиной: (1+Ii)(1−k)=1−k+Ii+Ij Следовательно, выполняется равенство: (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1−k) хотя 1+Ij≠1−k Формулировка о разложении произведения нуль-модулей на произведение нуль-модуля на число с ненулевой величиной выглядит оправданно осторожной, поскольку речь идет именно о ненулевой, а не единичной величине.
Приведем для выбранных нуль-модулей также остальные варианты комбинирований: (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1−k) (1+Ii)(1+Ij)=(1+k)(1+Ij) (1+Ij)(1+Ii)=(1+k)(1+Ii) (1+Ij)(1+Ii)=(1+Ij)(1+k) Если перейти к собственным величинам, то получим: (1/2+Ii/2)(1/2+Ij/2)=(1/2+Ii/2)(1/2−k/2) Но величина числа 1/2−k/2 уже не единица: |1/2−k/2|=√1/4+1/4=√2/2 В алгебре описываемые здесь под названием "нуль-модули" объекты имеют более распространенное название "делители нуля". Собственно, именно отличие их свойств в некоторых операциях от свойств обычных чисел алгебр и вызывает осторожное к ним отношение.
Движение света. Оглавление.
В целом, к нуль-модулям относятся все бикватернионы (а мы в интересах теории относительности оперируем ими), для которых полимодуль равен 0.
Если есть бикватернион A: A=a0+Apol+Ia4+Aax где соответственно полярная и аксиальная части равны: ApolIia1+Ija2+Ika3 Aax=ia5+ja6+ka7 то полимодуль такого бикватерниона равен: P(a)=(4(Apol,Aax)2+8a0a4(Apol,Aax)+A4pol− −2A2axA2pol+2a24A2pol−2a20A2pol+A4ax− −2a24A2ax+2a0A2ax+a44+2a20a24+a40) Здесь через (Apol,Aax) обозначено как-бы скалярное произведение 3-мерных векторов.
Как один из вариантов упрощения такого выражения можно использовать P(a)=(4((Apol,Aax)+a0a4)+(a24−a20+A2pol−A2ax)2)2 Ранее мы имели дело с сильно упрощенными нуль-модулями вида 1+Ii или α(1+Ii) В действительности, конечно, к нуль-модулям относятся не только бикватернионы такого вида, но и любые другие, у которых полимодуль равен 0.
Здесь я специально использую задание через полимодуль, а не через модуль. Для проверки на равенство нулю модуля сперва нужно найти алгебраически сопряженное число, а для нуль-модулей как раз это и не получится сделать в общем виде.
Если бикватернион образован произведениями других, из которых хотя бы один является нуль-модулем, то такое произведение в целом также является нуль-модулем, например: I(1+Ii)=I−i также является нуль-модулем.
Среди нуль-модулей выделяется часть бикватернионов, удовлетворяющая условию: Scl2(q)−Vec2(q)=0 где Scl(q) - скалярная часть бикватерниона, в Vec(q) - его векторная часть.
В случае если обе части в квадрате равны 0 Scl2(q)=0 Vec2(q)=0 то такие бикватернионы являются нильпотентами. Для нильпотентов справедливо утверждение, что существует такое целое положительное число n, начиная с которого qn=0 Для бикватернионов и для n=2 можно привести пример такого нильпотента: q=Ii+j Вообще говоря, годится любой бикватернион с нулевой скалярной частью и равными по абсолютной величине, но векторно перпендикулярными полярной и аксиальной частями. Соответственно, к нильпотентам также автоматически относятся также бикватернионы, умноженные на произвольное комплексное число: ((a+Ib)(Ii+j))2=0 Хотя для них скалярная часть уже может быть и не равна в квадрате нулю.
В случае если скалярная и векторная части в квадрате по отдельности не равны нулю, но в целом все равно выполняется соотношение Scl2(q)−Vec2(q)=0 то такой бикватернион является либо идемпотентом, либо идемпотентом умноженным на комплексное число. Идемпотентом называется такое число, для которого существует целое положительное число n, и выполняется соотношение qn=q Для бикватернионов и n=2 можно привести пример такого идемпотента: q=1/2+Ii/2 Вообще говоря, годится любой бикватернион с единичным полярным вектором вместо Ii.
Нужно понимать, что если бикватернион является нуль-модулем, то он может не быть ни идемпотентом, ни нильпотентом. В частности, произведение идемпотента на неколлинеарный ему идемпотент не является ни идемпотентом ни нильпотентом.
Для композиций нуль-модулей можно сказать, что в силу того что их величины равны 0, то уравнения вида AX=B не являются однозначно разрешимы относительно X если A и B являются нуль-модулями.
Этот факт приводит к тому, что произведение A1A2=B при выбранном A1 может иметь не единственное выражение для A2. И, в случае если Ai - это преобразования, то B как их композиция может быть представлена по-разному.
В этом состоит еще одно отличие преобразований движения со скоростью света от преобразований Лоренца. Для преобразований Лоренца уравнение AX=B разрешимо относительно X однозначно. Иначе говоря, если A и B - преобразования, то для преобразований Лоренца значение X однощначно, а для преобразований движения света - нет.
Приведем для иллюстрации пример. Пусть есть 2 преобразования движения со скоростью света: a=1+Ii b=1+Ij Множитель 1/2 для простоты опустим как не существенный для иллюстрирации.
Эти два преобразования являются взаимно перпендикулярными по своим направлениям, поскольку единицы Ij и Ij ортогональны. Найдем их произведение: (1+Ii)(1+Ij)=1+Ii+Ij−k Здесь мы видим произведение двух нуль-модулей. Это же число можно представить как произведение лишь одного нуль-модуля на число с ненулевой величиной: (1+Ii)(1−k)=1−k+Ii+Ij Следовательно, выполняется равенство: (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1−k) хотя 1+Ij≠1−k Формулировка о разложении произведения нуль-модулей на произведение нуль-модуля на число с ненулевой величиной выглядит оправданно осторожной, поскольку речь идет именно о ненулевой, а не единичной величине.
Приведем для выбранных нуль-модулей также остальные варианты комбинирований: (1+Ii)(1+Ij)=(1+Ii)(1−k) (1+Ii)(1+Ij)=(1+k)(1+Ij) (1+Ij)(1+Ii)=(1+k)(1+Ii) (1+Ij)(1+Ii)=(1+Ij)(1+k) Если перейти к собственным величинам, то получим: (1/2+Ii/2)(1/2+Ij/2)=(1/2+Ii/2)(1/2−k/2) Но величина числа 1/2−k/2 уже не единица: |1/2−k/2|=√1/4+1/4=√2/2 В алгебре описываемые здесь под названием "нуль-модули" объекты имеют более распространенное название "делители нуля". Собственно, именно отличие их свойств в некоторых операциях от свойств обычных чисел алгебр и вызывает осторожное к ним отношение.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий