Скалярное произведение матриц

Книга о преобразованиях гиперкомплексных чисел после ее выхода продолжает дописываться и в ней появились интересные параграфы, один из которых представляю здесь.

Если продолжить принцип взаимного отношения на алгебры другого вида, не на гиперкомплексные числа, то потребуется использовать алгебры, в которых определена операция умножения и взятия обратного элемента к заданному.

Обе эти категории существуют в алгебре матриц. Для матриц мы имеем и операцию произведения матриц, и операцию получения обратной к заданной так, что результат принадлежит к той же алгебре.

Для получения скалярного произведения матриц $A$ и $B$ надо взять их взаимное отношение в виде \begin{equation} AB^{T} \end{equation} После чего у этой величины взять инвариантный скаляр. Таким скалярным инвариантом является след матрицы. Или \begin{equation} (A,B)=\mathrm{tr}(AB^{T}) \label{eq3scalarproizvmatr01} \end{equation} Если исходные матрицы $A$ и $B$ преобразуются \begin{equation} \begin{array}{c} A \rightarrow CA \\ B \rightarrow CB \end{array} \end{equation} то скалярное произведение этих матриц преобразуется: \begin{equation} (A,B)\rightarrow (CA,CB)=\mathrm{tr}(CAB^{T}C^{T}) \end{equation} И в случае если определитель матрицы преобразования единичный \begin{equation} |C|=1 \end{equation} то след при таком преобразовании инвариантен: \begin{equation} \mathrm{tr}(CAB^{T}C^{T})=\mathrm{tr}(AB^{T}) \end{equation} И, таким образом, формула скалярного произведения матриц может быть использована в качестве определения скалярного произведения квадратных матриц с операцией ортогонального преобразования. Свойства коммутативности и линейности такого определения скалярного произведения вытекают из свойств транспонирования и следа квадратных матриц.

Как следствие задания скалярного произведения для матриц, возможно также применение к матрицам понятия их ортогональности, а именно, матрицы $A$ и $B$ ортогональны, если \begin{equation} \mathrm{tr}(AB^{T})=0 \end{equation} Как следствие определения ортогональности матриц, существует также вариант теоремы Пифагора для них: \begin{equation} \mathrm{tr}\left((A+B)(A+B)^{T}\right)=\mathrm{tr}(AA^{T})+ \mathrm{tr}(BB^{T}) \end{equation} Если обратить внимание на то, что в формуле скалярного произведения матриц рассматривается произведение матриц $AB^T$, то, формально говоря, это могут быть и матрицы с разным числом строк и столбцов $n \times m$, где $n\neq m$, вплоть до крайних случаев где $n=1$ или $m=1$, что соответствует фактически аналогам векторов. Для таких вырожденных в вектора матриц получаем классическое определение скалярного произведения векторов в виде суммы покомпонентных их произведений.

Любопытно, что и преобразование матриц $C$ может быть произвольной допустимой для умножения, а не только квадратной матрицей, но в этом случае конечно не применимо утверждение о единичности ее определителя.

По смыслу определения скалярного произведения матриц мы можем его применять лишь к матрицам с одинаковым числом строк и столбцов. В результате произведения матрицы на матрицу той же структуры, но транспонированную, получается квадратная матрица, что требуется для взятия следа.

Формально говоря, выбор скалярного произведения в форме $$ (A,B)=\mathrm{tr}(AB^T) $$ не приводит к правилу получения квадрата нормы объекта при взятии скалярного произведения этого объекта с самим собой. Для того чтобы это выполнялось нужно определить скалярное произведение матриц как $$ (A,B)=\mathrm{tr}(AB^{-1}|B|^2) $$ Здесь именно величина $B^{-1}|B|^2$ задает построение отношения в полной мере.

Но такое определение скалярного произведения для матриц не является коммутативным по аргументам $$ (A,B)\neq (B,A) $$ и не может быть отнесено к не квадратным матрицам и следовательно к векторам как частному случаю матрицы.