Как измерить эквивалентность гравитационной и инертной массы?

В теории гравитационная и инертная массы равны. Или считаются равными без доказательства. Или постулируются равными. Так ли это на самом деле и можно ли это измерить?

Для измерения равенства (или неравенства) масс, гравитационной и инертной, нужно выбрать два эксперимента, в одном из которых проявляется гравитационность массы, а в другом -- её же инертность.

Несмотря на хитроумные названия, это в действительности очень простые явления. Гравитация - это свойство масс притягивать друг друга. Поэтому для гравитационного эксперимента надо просто дать экспериментальной массе притянуться к нашей планете.

Инерция - это свойство тел сохранять движение и сопротивляться его изменению. Поэтому достаточно просто разгонять и притормаживать, или покачивать в разные стороны экспериментальную массу.

Оба эти эксперимента могут быть выполнены с использованием простейшего оборудования. А именно, путем помещения экспериментальной массы на резинку или пружинку. Если на такой пружинный подвес добавить массу $\Delta m$, то он опустится на величину $$ L=\frac{mg}{k} $$ Здесь в формуле используются коэффициент жесткости пружины $k$ и ускорение свободного падения $g$. И величина $g$ должна быть определена независимо, например в эксперименте с падением свободно падающего тела. Второй эксперимент проведём с той же экспериментальной массой, но чуть качнём подвес. Он станет маятником, и будет колебаться с периодом колебаний $$ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$ Но здесь будет тот же коэффициент упругости, но уже другая масса. В первом эксперименте используется масса гравитационная $m_g$, а во втором масса инерциальная $m_i$.

Выразим через них коэффициент упругости: $$ k=m_g\frac{g}{L} $$ $$ k=m_i\frac{4\pi^2}{T^2} $$

Поскольку они равны, то должно выполняться равенство: $$ \frac{m_gg}{L}=\frac{m_i4\pi^2}{T^2} $$ Конечно, это идеализированный эксперимент, и в реальном эксперименте в колебаниях участвует также и сам подвес и часть пружинки, и проводить эксперимент нужно для целой серии различных приращений масс. И измерять при этом насколько точно выполняется пропорция между гравитационной и инерциальной массой.

Такой эксперимент зависит от значения ускорения свободного падения $g$, но для серии измерений проводимых в одних и тех же условиях, он один и тот же.

Другим экспериментом, показывающим эквивалентность гравитационной и инерциальной масс, является эксперимент Галилея - ускорение свободного падения $g$ не должно зависеть от массы тела, поэтому при падении без помех, в идеальных условиях в вакууме, тела разных масс падают или должны падать с одинаковым ускорением. Или проходить одинаковые расстояния за одинаковое время.

Пружинный эксперимент в отличие от эксперимента Галилея может быть проведен более точно и без применения вакуума. Что также интересно, в пружинном эксперименте можно поэкспериментировать как с различными состояниями вещества (твердые, жидкие, сыпучие) так и с различными внутренними движениями (вращается ли экспериментальная масса или нет).

Сомнительно конечно что облучение различными излучениями или заключение в систему отражающих зеркал или волноводов может повлиять на отношение гравитационной и инерциальной масс, но тем не менее в пружинном эксперименте сохраняется возможность это определить.