Как измерить размерность пространства?

В книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" было описано различие между размерностью пространства и степенями свободы. Это различие было основано на свойствах группы преобразований, и размерность пространства есть следствие свойств группы преобразований.

Но есть еще один способ определения размерности пространства. Не опираясь на свойства абстрактной, пусть и достаточно хорошей, группы преобразований, а наоборот, идя со стороны прикладной физики, со стороны практических измерений.

Посмотрим на излучающий объект. Пусть есть точечный (или эквивалентный ему с точки зрения измерений) источник излучений. И пусть есть точечный (или эквивалентный ему с точки зрения измерений) датчик этого излучения. Пусть излечение распространяется существенно прямолинейно и равномерно.

Если окружим этот источник двумя концентрическими сферами, то при стационарном и независящем от времени процессе излучения количество излучения, приходящегося на каждую из сфер, будет одинаковым.

Если очертить на внутренней сфере площадку $S_1$, то на второй сфере это же излучение будет приходиться на площадь $S_2$.

Эти сферы отстоят от источника соответственно на радиусы $r_1$ и $r_2$.

Точечный датчик удельного количества излучения, или количества излучения приходящегося на единицу площади, таким образом, должен показывать убывание, обратно пропорциональное квадрату расстояния. Сама площадка есть псевдообъем, или вырезание части пространства. Вырезание делается фиксацией одной из координат, и то что остается и есть псевдообъем-площадка.

Вот именно обратная пропорциональность $$ E \approx \frac{1}{r^2} $$ и вызывает интерес.

Обратная пропорциональность именно квадрату расстояния (2) определяется именно как пространственная размерность пространства минус одна фиксированная координата: $$ n-1=2 $$ Масса экспериментов показывает, что удельная интенсивность излучений и полей для равномерного излучения точечного источника показывает пропорциональность $$ \frac{1}{r^p} $$ где $p$ очень и очень близко к величине 2. Соответственно, размерность метрического пространства, где мы живем, очень близка к $$ n=2+1=3 $$ Соответственно, общая размерность пространства в виде размерность метрического пространства плюс время: $$ n=3+1 $$ Возможно, что размерность времени не равна 1, а составляет иную величину, но экспериментальное определение этой величины также возможно. В предлагаемом эксперименте полагается фиксация одной из координат с выделением площадки-псевдообъема. Но в этом же эксперименте неявно полагается также и фиксация времени, путем выбора именно стационарного во времени процесса. Если такая фиксация стационарность может считаться уменьшением размерности на единицу, то она убирает одну координату из возможных временных координат.

Или размерность пространства-времени должна быть: $$ n=2+2=4 $$ Если же стационарность процесса трактуется как фиксация не одной, а всех размерностей времени, то так определить размерность времени конечно не получится и нужен эксперимент, гарантированно фиксирующий именно одну или именно две или любое другое но известное число временных размерностей.

В определенном смысле, и закон тяготения Ньютона и закон /Кулона и есть экспериментальные подтверждения размерности пространства, если их не рассматривать как законы производные от потенциалов, а как законы объединяющие интенсивности или удельный поток напряженностей через площадки.

Если бы наше пространство было бы не размерности $3+1$, а к примеру $5+1$, то из теории потенциала вытекала бы напряженность, по-прежнему обратно пропорциональная расстоянию в квадрате, но удельная плотность излучения уже была бы обратно пропорциональна четвертой степени расстояния.