Псевдоскалярное произведение векторов

В Википедии и во множестве учебников описано псевдоскалярное произведение двух векторов. Его же называют вторым названием косое произведение. И указано что оно существует только для 2-мерных векторов. И то же самое продублировано во множестве учебников. А теперь разберемся, почему написанное чепуха и что там с ним на самом деле.

Процитируем:

Псевдоскалярным или косым произведением векторов ${\bf a}$ и ${\bf b}$ на плоскости называется число $${\bf a}\wedge {\bf b}=|{\bf a}|\,|{\bf b}|\cdot\sin\Theta$$ где $\Theta=\angle({\bf a},{\bf b})$ - угол вращения от ${\bf a}$ к ${\bf b}$. Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов.

Можем даже опустить тот факт, что два вектора сами по себе задают плоскость если они не являются перекрещивающимися без возможности параллельного переноса в одну точку приложения.

Разберем, что здесь написано.

Величины $|{\bf a}|$, $|{\bf b}|$ и $\sin\Theta$ являются скалярами. Поскольку произведение скаляров есть скаляр, то здесь описана скалярная величина.

Далее в Википедии стоит попытка оправдаться:

Если рассматривать плоскость в трехмерном пространстве, то $${\bf a}\wedge {\bf b}=\pm({\bf a}\times{\bf b})\cdot{\bf n}$$ где $\times$ и $\cdot$ соответственно веткорное и скалярное произведения, а ${\bf n}$ - единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае если правый базис на плоскости, дополненный вектором ${\bf n}$, образует также правый базис, иначе минус.

Мне не удалось понять что такое правый базис на плоскости, но видимо это и не важно, в целом видимо речь идет о правом базисе вместе всех трех векторов.

Результатом векторного произведения (как двух полярных, так и двух аксиальных) является аксиальный вектор. Нормаль всегда является аксиальным вектором по той же причине. Скалярное произведение аксиальных векторов всегда является скаляром. Числа $+1$ и $-1$ являются скалярами. Поэтому и эта формула задает не псевдоскаляр, а скаляр. Судя по тому, что знаки $\pm$ нужно проставлять самолично, к любой такой формуле должен прилагаться и специально обученный человек, которого хлебом не корми, дай отследить у кого какая система координат - правая или левая и чтобы выдавать нужную формулу со специального склада.

Вот аксиальные векторы, например, вектор угловой скорости, как-то сами по себе меняют знак при смене ориентирования системы координат и никаких специально обученных людей не требуется, а тут вот потребовалось.

Так как же образуется псевдоскалярное произведение и как оно выглядит?

Нужно взять два векторных бикватерниона (если мы интересуемся произведением именно для векторов) и для второго из них найти алгебраически сопряженный.

Пусть есть величины $a$ и $b$. Для величины b алгебраическое сопряжение это $\overline{b}$: $$b\overline{b}=|b|^2$$ После чего надо взять произведение $$a\overline{b}$$ После чего взять скалярную часть $$Scl(a\overline{b})$$ Она будет состоять из двух компонентов - действительной $$Re(Scl(a\overline{b}))=S(a,b)$$ И мнимой: $$Im(Scl(a\overline{b}))=S^*(a,b)$$ Здесь первая величина и есть скалярное произведение, а вторая - псевдоскалярное.

Пусть величины $a$ и $b$ обе содержат лишь векторные величины: $$a=Iia_1+Ija_2+Ika_3+ia_5+ja_6+ka_7$$ $$b=Iib_1+Ijb_2+Ikb_3+ib_5+jb_6+kb_7$$ И рассмотрим по отдельности каждое из сочетаний. 1) $a$ полярный вектор и $b$ полярный $$a=Iia_1+Ija_2+Ika_3$$ $$b=Iib_1+Ijb_2+Ikb_3$$ $$\bar{b}=-Iib_1-Ijb_2-Ikb_3$$ Произведение $a\bar{b}$ не содержит псевдоскалярной части, и поэтому для полярных векторов $$S^*(a,b)=0$$ 2) $a$ полярный и $b$ аксиальный $$a=Iia_1+Ija_2+Ika_3$$ $$b=ib_5+jb_6+kb_7$$ $$\bar{b}=-ib_5-jb_6-kb_7$$ Произведение этих величин в псевдоскалярной части содержит величину: $$S^*(a,b)=a_7b_5+a_2b_6+a_3b_7$$ 3) $a$ аксиальный и $b$ полярный $$a=ia_5+ja_6+ka_7$$ $$b=Iib_1+Ijb_2+Ikb_3$$ $$\bar{b}=-Iib_1-Ijb_2-Ikb_3$$ Произведение этих величин в псевдоскалярной части содержит величину: $$S^*(a,b)=a_5b_1+a_6b_2+a_7b_3$$ 4) $a$ аксиальный и $b$ аксиальный $$a=ia_5+ja_6+ka_7$$ $$b=ib_5+jb_6+kb_7$$ $$\bar{b}=-ib_5-jb_6-kb_7$$ Произведение $a\bar{b}$ не содержит псевдоскалярной части в этом случае: $$S^*(a,b)=0$$ Конечно, в любом случае как любой викватернион так и произведение и сумма любых бикватернионов являются бикватернионами и в них присутствуют компоненты по всем мнимым единицам. И в данном случае под словами "содержит" или "не содержит", конечно, понимаются "в общем случае не равно нулю" и "всегда равно нулю".

Как видим, псевдоскалярное произведение двух полярных или двух аксиальных векторов равно нулю. Но если векторы различны по природе ,один полярный а другой аксиальный, то псевдоскалярное произведение выглядит как скалярное произведение векторов, составленных из их компонентов.

Очевидно, что псевдоскалярное произведение аксиального и полярного вектора может быть выражено через скалярное произведение аксиальных или полярных векторов, образованных из исходных: $$S^*(a,b)=S(a,-Ib)$$ $$S^*(a,b)=S(Ia,b)$$ Нужно понимать, что вообще говоря скалярное произведение между разнородными по природе векторами, как и псевдоскалярное между однородными, невозможно, то есть оно всегда 0. Но умножением на псевдоскаляр с нужным знаком мы можем достичь результата в понимаемом смысле.

В той же статье в Википедии о псевдоскалярном произведении указано:

Аналогом псевдоскалярного произведения в 3-мерном пространстве является тройное скалярное произведение: $$(a,b,c)=a\cdot(b\times c)$$

Очевидно, что результатом векторного произведения является аксиальный вектор, но скалярного произведения полярного на аксиальный быть не может. ПОэтому здесь понимается искусственное домножение либо $(b\times c)$ либо $a$ на псевдоскаляр, взятие скалярного произведения, после чего домножение на псевдоскаляр еще раз, чтобы результат не был скаляром.

Собственно говоря, проблема невозможности скалярного произведения полярного и аксиального вектора в том, что нет никакой меры сонаправленности между объектами, лежащими в разных пространствах. Для того, чтобы между полярным и аксиальным вектором могло существовать ненулевое скалярно произведение, необходимо дополниять один из векторов скалярной и одновременно псевдоскалярной частью, с тем чтобы взятие сопряденного дало соответственно асиальную и полярную составляющие. Об этом явлении опишем позже, в отдельном посте.

Итак, что касается 3-мерных векторов, то их псевдоскалярное произведение в отношении компонентов выглядит не как векторное, а как скалярное. Что касается псевдоскалярного произведения описанного в Википедии, то оно описывает случай 2-мерных алгебр:

Скалярное и псевдоскалярное произведения в двумерных алгебрах

Но это относится не к векторам, а к комплекснозначным скалярам.