О произведении числа на самого себя

Что, если берется скалярное произведение числа самого на себя, к каким соотношениям это приводит? Попробуем разобраться.

Для скалярного произведения числа $a$ на самого себя рассмотрим как оно образуется: $$S(a,a)=\mathrm{Re}(a\overline{a})$$ Сама величина $a\overline{a}$ есть квадрат модуля. В зависимости от выбора нормирования сопряженной величины это может быть и полимодуль $P(a)$.

В любом случае получается строго действительное число. Это число либо равно нулю для случая $a=0$ или если $a$ делитель нуля, либо больше нуля.

В определенном смысле, именно это свойство и понимается под сонаправленностью числа самому себе. Как бы мы ни преобразовывали $a$, мы всегда получим сонаправленность результата равный исходной сонаправленности и при этом она максимальна из всех возможных.

Но также некоторое внимание привлекает тот факт, что величина $a\overline{a}$ не содержит никаких других ненулевых компонентов кроме действительной, причем независимо от выбранной алгебры, надо заметить.

Поэтому получаем довольно важный вывод: все остальные произведения, в частности, псевдоскалярное и векторное произведения числа на себя равны 0. И это должно выполняться как в любой алгебре так и для любого числа в выбранной алгебре.