Реверс сигнатуры векторных компонентов

Может ли такое быть, чтобы компоненты гиперкомплексного числа входили в квадрат модуля с различными знаками в зависимости от значений других компонентов?

Да, может, если модуль числа определяется не полиномом 2-го порядка, а полиномом 4-го порядка. Как примеры - бикомплексные числа и бикватернионы.

В полном бикватернионе обозначим компоненты: $$ X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ Возьмем и часть из них обнулим, чтобы остался кватернион: $$ X=x_0+ix_5+jx_6+kx_7 $$ Для него сопряженная величина есть $$ \overline{X}=x_0+ix_5+jx_6+kx_7 $$ И квадрат модуля рвен: $$ X\overline{X}=|X|^2=x_0^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2 $$ И в квадрат модуля компоненты $x_5^2$, $x_6^2$, $x_7^2$ входят со знаком +.

Теперь возьмем и обнулимм компоненты иначе: $$ \begin{array}{c} X=Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7=\\ =I(x_4-Iix_5-Ijx_6-Ikx_7) \end{array} $$ Сопряженная величина имеет вид: $$ \begin{array}{c} \overline{X}=(-I)(x_4+Iix_5+Ijx_6+Ikx_7)=\\ =-Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 \end{array}$$ И квадрат модуля такой величины равен: $$ X\overline{X}=|X|^2=x_4^2-x_5^2-x_6^2-x_7^2 $$ То есть если убрать компоненту $x_0$ и поставить $Ix_4$, то в квадрате модуля векторные компоненты $x_5^2$, $x_6^2$, $x_7^2$ участвуют уже со знаком -.

Точно также если исходная величина равна $$ X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3 $$ то её квадрат модуля равен: $$ |X|^2=x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2 $$ Если же компоненту $x_0$ занулить, но компоненту $x_4$ сделать ненулевой, то $$ X=Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4 $$ $$ |X|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 $$ Здесь векторные компоненты также меняют сигнатуру.

Конечно, человек пытливого ума спросит: а если обнулить и $x_0$ и $x_4$ одновременно, то что будет?

Вообще говоря, надо обратиться к полному модулю, а он определен через 4-ю степень. Например:

Кватернионная факторизация полимодуля бикватерниона

Тогда будет понятно, что до сих пор мы имели дело не с квадратом модуля, а с квадратом модуля в квадрате, например для числа $$ X=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3 $$ $$ |X|^4=(x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2)^2 $$ А для числа $$ X=Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4 $$ $$ |X|^4=(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2 $$ И если $x_0=x_4=0$ то $$ \begin{array}{c} |X|^4=(-x_1^2-x_2^2-x_3^2)^2=\\ =(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2 \end{array} $$ Получается, что сигнатуры правомерны, если речь идет о квадрате модуля, но надо понимать, что смысл имеет (для бикватернионов и бикомплексных чисел) лишь 4-я степень. А для нее в данном случае сигнатура не имеет значения.

Примерно то же самое относится к интервалам пространства-времеи в СТО. Для получения квадрата интервала мы должны брать корень квадратный из 4-й степени. То есть конечно, не бывает отрицательных квадратов интервалов, как они описываются для пространственноподобных интервалов.