Processing math: 100%

суббота, 2 июля 2022 г.

Реверс сигнатуры векторных компонентов

Может ли такое быть, чтобы компоненты гиперкомплексного числа входили в квадрат модуля с различными знаками в зависимости от значений других компонентов?

Да, может, если модуль числа определяется не полиномом 2-го порядка, а полиномом 4-го порядка. Как примеры - бикомплексные числа и бикватернионы.

В полном бикватернионе обозначим компоненты: X=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 Возьмем и часть из них обнулим, чтобы остался кватернион: X=x0+ix5+jx6+kx7 Для него сопряженная величина есть ¯X=x0+ix5+jx6+kx7 И квадрат модуля рвен: X¯X=|X|2=x20+x25+x26+x27 И в квадрат модуля компоненты x25, x26, x27 входят со знаком +.

Теперь возьмем и обнулимм компоненты иначе: X=Ix4+ix5+jx6+kx7==I(x4Iix5Ijx6Ikx7) Сопряженная величина имеет вид: ¯X=(I)(x4+Iix5+Ijx6+Ikx7)==Ix4+ix5+jx6+kx7 И квадрат модуля такой величины равен: X¯X=|X|2=x24x25x26x27 То есть если убрать компоненту x0 и поставить Ix4, то в квадрате модуля векторные компоненты x25, x26, x27 участвуют уже со знаком -.

Точно также если исходная величина равна X=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3 то её квадрат модуля равен: |X|2=x20x21x22x23 Если же компоненту x0 занулить, но компоненту x4 сделать ненулевой, то X=Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4 |X|2=x21+x22+x23+x24 Здесь векторные компоненты также меняют сигнатуру.

Конечно, человек пытливого ума спросит: а если обнулить и x0 и x4 одновременно, то что будет?

Вообще говоря, надо обратиться к полному модулю, а он определен через 4-ю степень. Например:
Кватернионная факторизация полимодуля бикватерниона
Тогда будет понятно, что до сих пор мы имели дело не с квадратом модуля, а с квадратом модуля в квадрате, например для числа X=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3 |X|4=(x20x21x22x23)2 А для числа X=Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4 |X|4=(x21+x22+x23+x24)2 И если x0=x4=0 то |X|4=(x21x22x23)2==(x21+x22+x23)2 Получается, что сигнатуры правомерны, если речь идет о квадрате модуля, но надо понимать, что смысл имеет (для бикватернионов и бикомплексных чисел) лишь 4-я степень. А для нее в данном случае сигнатура не имеет значения.

Примерно то же самое относится к интервалам пространства-времеи в СТО. Для получения квадрата интервала мы должны брать корень квадратный из 4-й степени. То есть конечно, не бывает отрицательных квадратов интервалов, как они описываются для пространственноподобных интервалов.

Комментариев нет:

Отправить комментарий