Что коммутативно в некоммутативном?

Некоммутативность заключается в том, что результат произведения двух чисел зависит от порядка их следования. В некоммутативных алгебрах произведения ab и ba отличаются, вообще говоря. Хотя в каких-то специальных выделенных случаях взаимосвязанных чисел a и b могут быть равны. Но есть ли что-то коммутативное, или не меняющееся от перестановки сомножителей местами, и к каким следствиям это приводит? Попробуем разобраться.

Используем бикватернионы в обозначении: $$ X = x_0+Ijx_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ Для получения произведения двух бикватернионов используем либо их произведение согласно таблице произведений мнимых единиц, либо программу Maxima с отображением бикватернионов в их матричное представление:

makemat(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7):=
matrix([x0,x1,x2,x3,-x4,-x5,-x6,-x7],
    [x1,x0,-x7,x6,x5,x4,-x3,x2],
    [x2,x7,x0,-x5,x6,x3,x4,-x1],
    [x3,-x6,x5,x0,x7,-x2,x1,x4],
    [x4,-x5,-x6,-x7,x0,-x1,-x2,-x3],
    [x5,-x4,x3,-x2,-x1,x0,-x7,x6],
    [x6,-x3,-x4,x1,-x2,x7,x0,-x5],
    [x7,x2,-x1,-x4,-x3,-x6,x5,x0]);
a:makemat(a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7);
b:makemat(b0,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7);
ab:a.b;
ba:b.a;

Левая колонка матричных представлений есть отображение коэффициентов бикватернионов.

Простым сравнением получаем, что у $ab$ и $ba$ совпадают компоненты 0 и 4: $$ (ab)_0=(ba)_0 $$ $$ (ab)_4=(ba)_4 $$ Используя выводы, сделанные в посте

Формы скалярного произведения

получаем вывод, что поскольку в бикватернионах равны величины $$ Re(x\overline{y})=Re(\overline{y}x) $$ то для бикватернионов количество скалярных произведений не может быть 4, а может быть лишь или 1 или 2, а именно, остаются лишь формы: $$ Re(x\overline{y}) $$ $$ Re(y\overline{x}) $$