Этот пост был задуман как справочный, сводящий в таблицу скалярное и псевдоскалярное произведения для алгебр, которые лишь двумерные. Это комплексные, паракомплексные и дуальные числа. Полное понимание скалярного и псевдоскалярного произведений, на мой взгляд, может прийти лишь после рассмотрения и их свойств и применений в различных алгебрах. Но, тем не менее, начнем.
Скалярное произведение определяется для гиперкомплексных алгебр как: S(a,b)=Re(Scl(a¯b)) Скалярное произведение имеет ключевое свойство коммутативности по своим аргументам при применении к любым алгебрам: S(a,b)=S(b,a) Вообще говоря, как для коммутативных, так и для некоммутативных алгебр выполняется: Re(Scl(a¯b))=Re(Scl(¯ab))= =Re(Scl(¯ba))=Re(Scl(b¯a)) Псевдоскалярное произведение определяется для гиперкомплексных алгебр как: S∗(a,b)=Im(Scl(a¯b)) И также как и скалярное произведение имеет свойство коммутативности: Im(Scl(a¯b))=Im(Scl(¯ab))= =Im(Scl(¯ba))=Im(Scl(b¯a)) Здесь взятие мнимой части для двумерных алгебр есть взятие мнимой части, взятие скалярной части для двумерных алгебр есть взятие самого числа, поскольку оно и есть скаляр, а не вектор (но двумерный). Применение же взятия мнимой части от скалярной части есть обращение за мнимой единицей I в бикватернионах и бикомплексных числах. В них мнимая единица I считается скалярной, а единицы i, j, k - векторными. В алгебрах которые лишь двумерны, есть соглашение обозначать мнимой единицей i скалярную мнимую единицу.
Рассмотрим применение скалярного и псевдоскалярного произведений к алгебре комплексных чисел. Для комплексных чисел i2=−1 (a0+ia1)(b0+ib1)= =a0b0+a1b1+i(a1b0−a0b1) Соответственно, для комплексных чисел скалярное и псевдоскалярное произведения равны следующим выражениям: S(a,b)=a0b0+a1b1 S∗(a,b)=a1b0−a0b1 Для паракомплексных чисел закон умножения мнимой единицы имеет вид: i2=1 (a0+ia1)(b0+ib1)= =a0b0−a1b1+i(a1b0−a0b1) Соответственно, для паракомплексных чисел скалярное и псевдоскалярное произведения равны следующим выражениям: S(a,b)=a0b0−a1b1 S∗(a,b)=a1b0−a0b1 Для дуальных чисел закон умножения мнимых единиц имеет вид: i2=0 (a0+ia1)(b0+ib1)= =a0b0+i(a1b0−a0b1) Соответственно, для дуальных чисел скалярное и псевдоскалярное произведения равны следующим выражениям: S(a,b)=a0b0 S∗(a,b)=a1b0−a0b1 Теперь мы можем сличить полученные три результата и сделать выводы, что скалярные произведения в этих трех алгебрах различны, поскольку в них различны значения i2. Но псевдоскалярные произведения в этих алгебрах одинаковы, поскольку в них мнимая единица, естественно, коммутирует по умножению с действительной единицей. В определенном смысле коммутирование как операция может быть использована для выделения скалярной части.
Также ясно видно, что псевдоскалярное произведение это не то же самое что скалярное, но для других компонент. Это и другое произведение и оно имеет другие свойства.
Одним из важных свойств как скалярного, так и псевдоскалярного произведений, является инвариантность их значений при преобразованиях осей, являющихся ортогональными. К таким относится произведение на величину, чей модуль равен единице. Если |c|=1, то при a→ac b→bc произведение ab преобразуется в a¯b→ac¯c¯b=a¯b|c|2=a¯b Таким образом, величины S(a,b)=Re(Scl(a¯b)) S∗(a,b)=Im(Scl(a¯b)) остаются инвариантными.
Другим свойством скалярного и псевдоскалярного произведений является то, что при смене ориентирования осей скалярное произведение не изменяется, а псевдоскалярное меняет знак. В силу симметричности по индексам S(a,b) и антисимметричности по индексам S∗(a,b) при смене знака либо a0→−a0 b0→−b0 либо при a1→−a1 b1→−b1 произведения преобразуются: S(a,b)→S(a,b) S∗(a,b)→−S∗(a,b) Очевидно, что как скалярное, так и псевдоскалярное произведение составляют соответствующие части взаимного отношения гиперкмплексных чисел a¯b Пока могу лишь предположить, что если проводить многократно процедуру удвоения алгебр по Кэли, то после комплексных и бикомплексных чисел можно получить и другие коммутативные алгебры, скажем трикомплексную, в которой псевдоскалярное произведение может иметь несколько форм в зависимости от того, что именно будет пониматься в взятии мнимой части Im(Scl(a¯b)) если этих мнимых частей несколько и все они скалярные.
Вполне можно допустить, что в таких алгебрах псевдоскалярное произведение окажется многомерным,как векторное, поскольку в этих алгебрах и скалярных мнимых единиц несколько. И, в этом случае, было бы логично условливаться, что и сама мнимая единица входит в результат псевдоскалярного произведения.
Одним из наиболее важных и часто используемых свойств скалярного произведения является то, что скалярное произведение объекта на самого себя характеризует величину самого этого объекта: S(a,a)=Re(Scl(a¯a))=|a|2 И, в отличие от скалярного произведения, псевдоскалярное произведение объекта на самого себя всегда равно нулю, поскольку в величине a¯a=|a|2 вообще отсутствуют мнимые единицы. Точнее говоря, присутствуют, но значения этих компонент всегда равны 0.
Поэтому равенство нулю псевдоскалярного произведения может быть использовано как условие коллинеарности объектов.
Скалярное произведение определяется для гиперкомплексных алгебр как: S(a,b)=Re(Scl(a¯b)) Скалярное произведение имеет ключевое свойство коммутативности по своим аргументам при применении к любым алгебрам: S(a,b)=S(b,a) Вообще говоря, как для коммутативных, так и для некоммутативных алгебр выполняется: Re(Scl(a¯b))=Re(Scl(¯ab))= =Re(Scl(¯ba))=Re(Scl(b¯a)) Псевдоскалярное произведение определяется для гиперкомплексных алгебр как: S∗(a,b)=Im(Scl(a¯b)) И также как и скалярное произведение имеет свойство коммутативности: Im(Scl(a¯b))=Im(Scl(¯ab))= =Im(Scl(¯ba))=Im(Scl(b¯a)) Здесь взятие мнимой части для двумерных алгебр есть взятие мнимой части, взятие скалярной части для двумерных алгебр есть взятие самого числа, поскольку оно и есть скаляр, а не вектор (но двумерный). Применение же взятия мнимой части от скалярной части есть обращение за мнимой единицей I в бикватернионах и бикомплексных числах. В них мнимая единица I считается скалярной, а единицы i, j, k - векторными. В алгебрах которые лишь двумерны, есть соглашение обозначать мнимой единицей i скалярную мнимую единицу.
Рассмотрим применение скалярного и псевдоскалярного произведений к алгебре комплексных чисел. Для комплексных чисел i2=−1 (a0+ia1)(b0+ib1)= =a0b0+a1b1+i(a1b0−a0b1) Соответственно, для комплексных чисел скалярное и псевдоскалярное произведения равны следующим выражениям: S(a,b)=a0b0+a1b1 S∗(a,b)=a1b0−a0b1 Для паракомплексных чисел закон умножения мнимой единицы имеет вид: i2=1 (a0+ia1)(b0+ib1)= =a0b0−a1b1+i(a1b0−a0b1) Соответственно, для паракомплексных чисел скалярное и псевдоскалярное произведения равны следующим выражениям: S(a,b)=a0b0−a1b1 S∗(a,b)=a1b0−a0b1 Для дуальных чисел закон умножения мнимых единиц имеет вид: i2=0 (a0+ia1)(b0+ib1)= =a0b0+i(a1b0−a0b1) Соответственно, для дуальных чисел скалярное и псевдоскалярное произведения равны следующим выражениям: S(a,b)=a0b0 S∗(a,b)=a1b0−a0b1 Теперь мы можем сличить полученные три результата и сделать выводы, что скалярные произведения в этих трех алгебрах различны, поскольку в них различны значения i2. Но псевдоскалярные произведения в этих алгебрах одинаковы, поскольку в них мнимая единица, естественно, коммутирует по умножению с действительной единицей. В определенном смысле коммутирование как операция может быть использована для выделения скалярной части.
Также ясно видно, что псевдоскалярное произведение это не то же самое что скалярное, но для других компонент. Это и другое произведение и оно имеет другие свойства.
Одним из важных свойств как скалярного, так и псевдоскалярного произведений, является инвариантность их значений при преобразованиях осей, являющихся ортогональными. К таким относится произведение на величину, чей модуль равен единице. Если |c|=1, то при a→ac b→bc произведение ab преобразуется в a¯b→ac¯c¯b=a¯b|c|2=a¯b Таким образом, величины S(a,b)=Re(Scl(a¯b)) S∗(a,b)=Im(Scl(a¯b)) остаются инвариантными.
Другим свойством скалярного и псевдоскалярного произведений является то, что при смене ориентирования осей скалярное произведение не изменяется, а псевдоскалярное меняет знак. В силу симметричности по индексам S(a,b) и антисимметричности по индексам S∗(a,b) при смене знака либо a0→−a0 b0→−b0 либо при a1→−a1 b1→−b1 произведения преобразуются: S(a,b)→S(a,b) S∗(a,b)→−S∗(a,b) Очевидно, что как скалярное, так и псевдоскалярное произведение составляют соответствующие части взаимного отношения гиперкмплексных чисел a¯b Пока могу лишь предположить, что если проводить многократно процедуру удвоения алгебр по Кэли, то после комплексных и бикомплексных чисел можно получить и другие коммутативные алгебры, скажем трикомплексную, в которой псевдоскалярное произведение может иметь несколько форм в зависимости от того, что именно будет пониматься в взятии мнимой части Im(Scl(a¯b)) если этих мнимых частей несколько и все они скалярные.
Вполне можно допустить, что в таких алгебрах псевдоскалярное произведение окажется многомерным,как векторное, поскольку в этих алгебрах и скалярных мнимых единиц несколько. И, в этом случае, было бы логично условливаться, что и сама мнимая единица входит в результат псевдоскалярного произведения.
Одним из наиболее важных и часто используемых свойств скалярного произведения является то, что скалярное произведение объекта на самого себя характеризует величину самого этого объекта: S(a,a)=Re(Scl(a¯a))=|a|2 И, в отличие от скалярного произведения, псевдоскалярное произведение объекта на самого себя всегда равно нулю, поскольку в величине a¯a=|a|2 вообще отсутствуют мнимые единицы. Точнее говоря, присутствуют, но значения этих компонент всегда равны 0.
Поэтому равенство нулю псевдоскалярного произведения может быть использовано как условие коллинеарности объектов.
Комментариев нет:
Отправить комментарий