Кватернионная факторизация полимодуля бикватерниона

Продолжим поиски вариантов как-то сократить и привести к каким-то относительно читабельным выражениям полимодуль бикватерниона.

Пойдем другим путем, не от матричного представления, а от кватернионного. Поскольку любой бикватернион есть комплексный кватернион, то применим общие для них правила: если есть число $x$ то произведение его на ему сопряженное $\bar{x}$ есть число с модулем равным квадрату модуля $x$ и с отсутствующими мнимыми единицами, по которым производилось сопряжение.

В нашем случае бикватернион из обычной записи в виде скаляр - полярный вектор - псевдоскаляр - аксиальный вектор $$x = x_0 + Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+jx_5+jx_6+kx_7$$ составляем кватернион с комплексными коэффициентами: $$x=(x_0+Ix_4) + i(x_5+Ix1) + j(x_6+Ix_2) + k(x_7+Ix_3)$$ Далее умножим этот комплексный кватернион на сопряженный ему по единицам $i$, $j$, $k$.

Далее результат умножим на сопряженнй ему по мнимой единице $I$.

Используем систему компьютерной алгебры Maxima для упрощения преобразований:

fi0:a0+%i*a4;
fi1:a5+%i*a1;
fi2:a6+%i*a2;
fi3:a7+%i*a3;
m2:fi0^2+fi1^2+fi2^2+fi3^2;
m2abs:m2*conjugate(m2);
m2absexpanded:expand(m2abs);

Здесь мы получаем в выражении m2absexpanded точное выражение полимодуля бикватерниона до возведения в квадрат: $$m2absexpanded^2=P(a)$$ Это равенство важно для того чтобы сопоставить такие произведения комплексного кватерниона и полимодуля.

Отдельные части бикватерниона можем заменить: $$A_{pol}=Iia1 + Ija_2 + Ika_3$$ $$A_{ax}=ia_5+ja_6+ka_7$$ Та же величина представленная через скалярные и векторные части, выражается:

m2parts:a0^2-a4^2-apol^2+aax^2+%i*(2*a0*a4+2*apolaax);
m2partsabs:m2parts*conjugate(m2parts);
m2partsabsexpanded:expand(m2partsabs);

И как результат получаем: $$\begin{array}{c} 4(A_{pol}A_{ax})^2+8a_0a_4(A_{pol}A_{ax})+A_{pol}^4- \\ - 2A_{ax}^2A_{pol}^2+2a_4^2A_{pol}^2-2a_0^2A_{pol}^2+ \\ +A_{ax}^4-2a_4^2A_{ax}^2 + 2a_0^2A_{ax}^2 + a_4^4 + 2a_0^2a_4^2+a_0^4 \end{array}$$ Здесь через $(A_{pol}A_{ax})$ обозначено как-бы скалярное произведение 3-мерных векторов, если бы они были выражены соответствующими компонентами и находились в одном пространстве.

Из этой формулы можно получить полимодуль напряженности электромагнитного поля, если в качесте бикватерниона выбрать строго векторный, у которого полярная часть представлена напряженностью электрического поля, а аксиальная - напряженностью магнитного. Конечно, они должны быть выражены в системе единиц, в которой их размерности одинаковы.

Интересной особенностью является то, что такая величина как полимодуль векторного бикватерниона в физике представляет энергетику поля. И это при том, что сами величины $E$ и $H$ не являются векторами, а преобразуются как векторное произведение 4-векторов в 8-мерном пространстве. В тензорном виде эта же энергетика описывается как свертка тензора.

И любопытно то, что это выражение должно быть у полимодуля любого векторного бикватерниона, вне зависимости от того как он образован. Например, это может быть сочетание поступательной скорости Лоренца и 3-мерного угла поворота.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел