Оценка индукции быстроты

Зададимся вопросом, а насколько велика индукция дополнительно появляющейся скорости и как ее оценить количественно.

Обратимся к рассмотренному ранее матричному представлению операторов преобразования Лоренца и поворотов.

Положим, что преобразования образуют последовательность $$ L(\psi)L(\varphi)L(-\psi) $$ Выберем самый простой для оценки вариант, при котором $$ L(\psi)=\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{ch}\psi & \mathrm{sh}\psi & 0 & 0 \\ \mathrm{sh}\psi & \mathrm{ch}\psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ И поворот выполняется вокруг оси $Z$ на угол $\varphi_z$: $$ L(\varphi_z)=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi_z & -\sin\varphi_z & 0 \\ 0 & \sin\varphi_z & \cos\varphi_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ В этом случае искомая композиция преобразований равна: $$ \left( \begin{array}{cccc} \mathrm{ch}^2\psi-\cos\varphi_z\mathrm{sh}^2\psi & \cos\varphi_z\mathrm{ch}\psi\mathrm{sh} - -\mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi & -\sin\varphi_z\mathrm{sh}\psi & 0\\ \mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi-\cos\varphi_z\mathrm{sh}\psi & \cos\varphi_z\mathrm{ch}^2\psi-\mathrm{sh}^2\psi & \cos\varphi_z\mathrm{ch}\psi & 0 \\ -\sin\varphi_z\mathrm{sh}\psi & \sin\varphi_z\mathrm{ch}\psi & \cos\varphi_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ Для гиперболических функций быстроты используем их связь со скоростью: $$ \mathrm{th}\psi=\frac{v}{c} $$ $$ \mathrm{ch}\psi=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ $$ \mathrm{sh}\psi=\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ И тот факт, что обобщенный поворот задается матрицей в общем виде $$ L(\varphi)=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) $$ Здесь важно то, что в первой колонке и в первой строке стоят нули и на главной диагонали - единица. Из этого факта следует, что если матрица оператора поворота умножается либо слева либо справа на матрицу оператора преобразования буста, то в получающемся результате левый верхний коэффициент равен левому верхнему коэффициенту оператора буста: $$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \ddots \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \mathrm{ch}\psi & \ldots \\ \vdots & \ddots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \mathrm{ch}\psi & \ldots \\ \vdots & \ddots \end{array} \right) $$ В выражение $\mathrm{ch}\psi$ входит скорость в квадрате и мы можем оценить ее величину, хотя и не затрагивая направление.

Для случая поворота вокруг только оси $Z$ получаем: $$ \mathrm{ch}\psi'=\mathrm{ch}^2\psi-\cos\varphi_z\mathrm{ch}^2\psi $$ В случае же обобщенного поворота с векторным параметром $$ \varphi=i\varphi_x+j\varphi_y+k\varphi_z $$ вместо $\cos\varphi_z$ нужно использовать направляющий косинус поворота в 3-мерном пространстве: $$ \cos|\varphi|+(1-\cos|\varphi|)\frac{\varphi_x^2}{|\varphi|^2} $$ Сохраняя укороченное выражение для обобщенного направляющего косинуса через $\varphi_z$, искомую быстроту можно представить как $$ \mathrm{ch}\psi'=\frac{1-\cos\varphi_zv^2/c^2}{1-{v'}^2/c^2}= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ В полученное выражение величина индуцированной скорости $v'/c$ входит в первом порядке, а величина $v/c$ во втором. То есть эффект индуцирования имеет второй порядок малости.

Кинематическая индукция, оглавление