Если есть преобразование Лоренца, применяемое к 4-вектору пространства-времени, то оно сохраняет квадрат величины этого вектора. Это инвариант преобразования Лоренца. А если есть композиционное преобразование, то какая величина от преобразуемой величины будет сохраняться инвариантной? Попробуем разобраться.
Положим, что композиционно преобразуемая величина состоит из полярной и аксиальной частей:
$$
Ip+a
$$
здесь $p$ и $a$ - кватернионные части:
$$
Ip=I(ip_x+jp_y+kp_z)
$$
$$
a=ia_x+ja_y+ka_z
$$
Рассмотрим, чему равна величина квадрата от такого составного вектора
$$
(Ip+a)(Ip+a)
$$
Для кватернионных величин $a$ и $p$ состоящих только из мнимых частей выполняется:
$$
ab=-(a,b)+[a,b]
$$
где $(a,b)$ - скалярное произведение
$$
(a,b)=a_xb_a+a_yb_y+a_zb_z
$$
и $[a,b]$ - векторное произведение
$$
\begin{array}{c}
[a,b]=i(a_yb_z-a_zb_y)+\\
+j(a_zb_x-a_xb_z)+k(a_xb_y-a_yb_x)
\end{array}
$$
Для них выполняются соотношения:
$$
(a,b)=(b,a)
$$
$$
[a,b]=-[b,a]
$$
$$
[a,a]=0
$$
Используя эти свойства, раскроем квадрат исходной величины, зная что $I^2=1$ и что $I$ коммутирует с единицами i, j, k.
$$
(Ip+a)(Ip+a)=(p,p)-I(p,a)+I[p,a]-I(a,p)-I[a,p]-(a,a)
$$
Упростив, получаем:
$$
(p,p)-(a,a)-2I(a,p)
$$
Теперь рассмотрим что происходит с таким квадратом при композиционном преобразовании $T$:
$$
T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar(T)
$$
Поскольку $\bar{T}T=1$ и поскольку величина $(Ip+a)^2$ есть сумма скаляра и псевдоскаляра, то в силу свойства композиционного преобразования оставлять неизменным скаляр
$$
TC\bar{T}=CT\bar{T}=C
$$
получаем, что квадрат композиционно преобразуемой величины, если она есть чисто векторная, остается инвариантом
$$
T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar{T}=(p,p)-(a,a)-2I(a,p)
$$
Если инвариантная величина является составной, то инвариантами одновременно друг с другом являются все ее компоненты:
$$
(p,p)-(a,a)=inv
$$
$$
I(a,p)=inv
$$
Здесь первый инвариант скалярная величина, а вторая псевдоскалярная. При изменении правила произведения мнимых единиц с правого на левое первая величина остается неизменной, а вторая должна изменить знак.
В частности, композиционно преобразуемой величиной является напряженность электромагнитного поля ${\bf E},{\bf B}$. И поэтому для них также инвариантны величины
$$
\begin{array}{c}
{\bf E}^2-{\bf B}^2 = inv\\
({\bf E},{\bf B}) = inv
\end{array}
$$
при композиционном преобразовании.
Часто эти инварианты относят к инвариантам самого поля. Строго говоря, это неверно, поскольку инварианты относятся к преобразованию, и для иных преобразований и инварианты будут другие. Например, для преобразований 3-мерных поворотов инвариантов будет уже три:
$$
\begin{array}{c}
{\bf E}^2 = inv\\
{\bf B}^2 = inv\\
({\bf E},{\bf B}) = inv
\end{array}
$$
Если при композиционном преобразовании модуль преобразуемой величины полагать неизменным из-за единичности модулей операторов преобразования, то взяв факторизацию полимодуля с нувевыми частями $x_0=x_4=0$, получим:
$$
4(p,a)^2+p^4-2p^2a^2+a^4
$$
То есть требование инвариантности полимодуля приводит к величине составленной из найденных ранее
$$
\begin{array}{c}
(p,p)-(a,a)=inv \\
(a,p)=inv
\end{array}
$$
Еще одним следствием инварианта в найденной форме является правило преобраования относительного угла двух объектов. Если два объекта по своему положению отличаются друг от друга преобразованием Лоренца, в котором ненулевой буст и нулевой игол либо ненулевой игол и нулевой буст, то в силу того что одна из частей ($p$ или $a$) равна нулю, выполняется
$$
(a,p)=0
$$
Соответственно, при преобразовании Лоренца применяемого к векторам, к относительному углу применяется композиционное преобразование и для любого наблюдателя относительный угол и буст для этих двух тел будут наблюдаться ортогональными друг другу.
Кинематическая индукция, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий