Векторы 4-мерного пространства-времени преобразуются согласно преобразованиям
Лоренца. И между преобразованиями Лоренца и композиционными преобразованиями
существует прямая связь.
Преобразования Лоренца описываются группой преобразований вида
$$
x\rightarrow e^{\varphi/2+\psi/2}x e^{-\varphi/2+\psi/2}
$$
где $\varphi$ - угол 3-мерного поворота, а $\psi$ - гиперболический
угол быстроты, и они задаются в бикватернионах. В других местах обозначение
$\psi$ используется для обозначения самого оператора (сокращая запись
экспоненты), но здесь как параметр оператора, указанный явно.
Вектор $x$ задается сокращенным бикватернионом:
$$
x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3
$$
здесь $x_0$ - скалярная или временная составляющая, а
$$
Iix_1+Ijx_2+Ikx_3
$$
это полярный вектор.
Параметры преобразования:
$$
\varphi=i\varphi_5+j\varphi_6+k\varphi_7
$$
представляют аксиальный вектор, он задает общеизвестный 3-мерный
вектор угла поворота.
Вектор:
$$
\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3
$$
представляет полярный 3-мерный вектор, он задает гиперболический угол
быстроты:
$$
\mathrm{th}\psi=v/c
$$
Направление вектора $\psi$ задает направление линейной скорости преобразования
Лоренца.
Сами значения бикватернионных операторов
$$
\begin{array}{c}
e^{\varphi/2+\psi/2} \\
e^{-\varphi/2+\psi/2}
\end{array}
$$
представляют собой полуоператоры преобразования Лоренца:
$$
\begin{array}{c}
e^{\varphi/2+\psi/2} = T\\
e^{-\varphi/2+\psi/2} = \bar{T}^*
\end{array}
$$
Здесь $\bar{T}$ - алгебраическое сопряжение
$$
T\bar{T}=|T|^2
$$
и $T^*$ - скалярное сопряжение, при котором меняют знак компоненты, в
образовании которых участвует единица $I$.
Таким образом, преобразование Лоренца выражается через взаимно-сопряженные
полуоператоры:
$$
x\rightarrow Tx\bar{T}^*
$$
Соответственно, если есть объекты, которые при преобразовании векторов
пространства-времени преобразованием Лоренца также преобразуются преобразованием
Лоренца, то они также образуют истинные 4-мерные векторы.
Но, кроме них, существуют и другие многомерные объекты, также выразимые
бикватернионами, но преобразующиеся не преобразованием Лоренца, а композиционным
преобразованием. Поэтому они не образуют истинные 4-мерные векторы. Например,
сам угол поворота, быстрота, или напряженности электромагнитного поля. Мы
привыкли называть их векторами, но это не 4-мерные векторы.
Оглавление
Композиционные преобразования
Комментариев нет:
Отправить комментарий