Композиция преобразований

Рассмотрим последовательное применение композиционных преобразований.

Положим, что сначала применяется композиционное преобразование $a$, а затем преобразование $b$, также композиционное. Получается ли в результате преобразование $c$ также композиционным?

Если сначала объект преобразуется преобразованием $a$: $$ x\rightarrow\psi_a x\bar{\psi_a} $$ А затем к результату применяется преобразование $b$: $$ \psi_a x\bar{\psi_a}\rightarrow \psi_b\psi_a x\bar{\psi_a}\,\bar{\psi_b} $$ то в силу соотношения $$ \overline{xy}=\bar{y}\,\bar{x} $$ Можно приравнять: $$ \psi_c=\psi_b\psi_a $$ И преобразование $\psi_c$ можем считать результатом композиции.

Поскольку мы можем выполнить такую замену, то все свойства преобразований сумм, произведений, и других операций сохраняются. также и для последовательности композиционных преобразований $$ \psi_n\ldots\psi_3\psi_2\psi_1 $$ Также можем сделать вывод, что для композиционного преобразования $\psi$ обратным ему будет $\bar{\psi}$, поскольку $$ \bar{\psi}\psi x \bar{\psi}\bar{\bar{\psi}}=x $$ То есть последовательное применение сначала преобразования $\psi$, а затем $\bar{\psi}$ дает единичное преобразование, оставляющее операнд неизменным.

Соответственно, можем сделать выводы о результатах преобразования при смене порядка в композиции. Результаты применения $\psi_a\psi_b$ и $\psi_b\psi_a$ могут как совпадать так и нет. Результаты, вообще говоря, будут совпадать всегда, если $\psi$ выбираются в коммутативной алгебре и совпадение будет зависеть от взаимности направлений $\psi_a$ и $\psi_b$ для некоммутативных алгебр.

Тот факт, что композиция композиционных преобразований по умножению $$ \psi_c=\psi_b\psi_a $$ дают также композиционное преобразование, означает, что такие преобразования образуют группу по умножению.

Существование же обратного изначально определяется тем, что мы выбираем для преобразований лишь те, что имеют единичный модуль, и для таких выполняется: $$ |\psi|^2=\psi\bar{\psi}=1 $$ $$ |\psi|^2=|\psi_b|^2|\psi_a|^2=1 $$

Оглавление
Композиционные преобразования