Взаимным отношением векторов называется оператор, переводящий один из векторов в
другой. Таких отношений два:
$$
\begin{array}{c}
x\bar{y} \\
\bar{y}x
\end{array}
$$
Это оператор, переводящий $y$ в $x$:
$$
\begin{array}{c}
x\bar{y}y=x \\
y\bar{y}x = x
\end{array}
$$
Отметим, что речь в данном случае не о преобразовании Лоренца.
В случае если используется коммутативная алгебра и алгебраическое сопряжение в
ней линейно, то оба эти отношения совпадают. Таже совпадают скалярные части этих
отношений для некоммутативных алгебр если в них алгебраическое сопряжение
линейно.
Скалярная часть взаимного отношения есть скалярное и псевдоскалярное
произведение операндов, а векторная часть - векторное произведение.
В целом, части взаимного отношения характеризуют взаимное расположение, или
относительное расположение операндов. Если сами значения $x$ и $y$ есть
абсолютные значения, то $x\bar{y}$ или $\bar{x}y$ есть относительная величина.
И, вообще говоря, она преобразуется иначе, чем векторы, а именно:
$$
x\bar{y}\rightarrow Tx\bar{T}^*T^*\bar{y}\bar{T}
$$
Здесь два вектора $x$ и $y$ преобразуются преобразованиями Лоренца
$$
\begin{array}{c}
x\rightarrow Tx\bar{T}^* \\
\bar{y}\rightarrow T^*\bar{y}\bar{T}
\end{array}
$$
Поскольку
$$
\bar{T}^*T^*=|T^*|^2=1
$$
то взаимное отношение преобразуется композиционно:
$$
x\bar{y}\rightarrow Tx\bar{y}\bar{T}
$$
с тем же полуоператором что в преобразовании Лоренца.
В силу свойств композиционного преобразования скалярная часть взаимного
отношения не изменяется, причем здесь в скалярную часть входит истинный скаляр и
псевдоскаляр.
Векторная же часть и изменяет величину в направлениях полярной и аксиальной
составляющих и также они могут использовать вращение в зависимости от значения
$T$.
Если первая форма взаимного отношения преобразуется как
$$
x\bar{y}\rightarrow Tx\bar{y}\bar{T}
$$
то вторая форма преобразуется скалярно-сопряженным полуоператором:
$$
\bar{y}x\rightarrow\overline{Ty\bar{T}^*}Tx\bar{T}^*=
T^*\bar{y}x\bar{T}^*
$$
Эти формы отличаются стороной применения к исходному вектору $y$ для получения
целевого вектора $x$.
Конечно, нужно сделать уточнение что в приведенных полуоператорах не учитываются
абсолютные значения $|x|$ и $|y|$. И в действительности должны использоваться
значения $y^{-1}$ вместо $y$.
Оглавление
Композиционные преобразования
Комментариев нет:
Отправить комментарий