В специальной теории относительности оперируют понятием 4-мерного вектора энергии-импульса. В классической механике это отдельные величины. В СТО оперируют преобразованиями Лоренца, в классической механике - преобразованиями Галилея. Существует ли такая точка зрения на импульс, которая подходит обеим механикам? Попробуем разобраться.
В специальной теории относительности и в классической механике скорости относительного движения есть преобразования между соответствующими системами координат. Положив, что в начальной системе отсчета тело неподвижно и имеет скорости по пространственным осям нулевые а по временной единичную, имеем:
$$
p = p_0+Iip_1+Ijp_2+Ikp_3
$$
$$
p_v=Iip_1+Ijp_2+Ikp_3=0
$$
$$
p=p_0
$$
$$
p_0=mc^2
$$
При движении, выполняемом путем преобразования Лоренца, мы имеем импульс:
$$
p_0\rightarrow p_0\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
$$
$$
p_v\rightarrow p_0\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
$$
здесь под корнями зашифрована просто формула гиперболического поворота:
$$
p_0\rightarrow p_0 ch\psi
$$
$$
p_v\rightarrow p_0 sh\psi
$$
где сама наблюдаемая скорость $v$:
$$
v/c = th\psi
$$
При движении, выполняемом путем преобразования Галилея, мы имеем импульс:
$$
p_0\rightarrow p_0
$$
$$
p_v\rightarrow p_0 v/c
$$
Здесь отличие от преобразований Лоренца в том, что в преобразованиях Галилея скорость движения по временной оси не меняется.
Теперь рассмотрим, как наблюдается изменение величины импульса.
При преобразованиях Лоренца импульс до и после одинаковый:
$$
p_0^2\rightarrow p_0^2 ch^2\psi - p_0^2 sh^2\psi = p_0^2
$$
Величина $p_0^2$ в СТО также задает инвариант и определяет квадрат массы тела. Соответственно, при преобразованиях Лоренца в СТО масса также инвариант.
При преобразованиях Галилея импульс до и после уже не одинаков:
$$
p_0^2\rightarrow p_0^2-p_0^2 v^2/c^2 = p_0^2(1-v^2/c^2)
$$
Во-первых, должно наблюдаться уменьшение массы. Во-вторых, в силу произвольности выбора системы отсчета наблюдателем мы можем таким образом наблюдать практически произвольным образом уменьшенную массу.
Гипотеза, приравнивающая обе группы преобразований к допустимым, состоит в том, чтобы использовать в преобразовании импульса не саму скорость, а её нормированную величину:
$$
p_0\rightarrow
p_0\frac{V_0}{|\overrightarrow{V}|}+p_0\frac{V_v}{|\overrightarrow{V}|}
$$
Здесь для преобразования Лоренца
$$
V_0 = ch\psi=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
$$
$$
V_v=sh\psi=\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
$$
$$
|\overrightarrow{V}|=\sqrt{V_0^2-V_v^2}=1
$$
И для преобразования Галилея
$$
V_0=1
$$
$$
V_v=v/c
$$
$$
|\overrightarrow{V}|=\sqrt{V_0^2-V_v^2}=\sqrt{1-v^2/c^2}
$$
Во-первых, в этом случае автоматически выполняется правило инвариантности массы, поскольку величины импульсов до и после преобразований одинаковы и для преобразования Лоренца и для преобразования Галилея.
Во-вторых, формула преобразования импульса для преобразования Лоренца остается неизменной, поскольку
$$
ch^2\psi-sh^2\psi=1
$$
при любом значении $\psi$.
В-третьих, формула преобразования импульса для преобразования Галилея переходит в формулу для преобразования импульса для преобразования Лоренца:
$$
p_0\rightarrow p_0\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+p_0\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
$$
Здесь первое слагаемое скаляр, второе вектор.
Тут важно отметить, что не преобразование Галилея переходит в преобразование Лоренца или преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея при устремлении $c\rightarrow\infty$, а именно что оба преобразования импульса, а не координат, переходят в одно и то же.
В-четвертых, что мне собственно говоря, больше всего и понравилось, это то, что при вращательном движении точка тела движется не по преобразованию Лоренца, а по преобразованию Галилея и величина скорости определяется геометрией тела и его угловлй скоростью, и при применении гипотезы о преобразовании импульса мы можем включить в энергию также и энергию вращательного движения. А именно, если скорость точки пропорциональна угловой скорости движения
$$
v=r\omega
$$
то, беря энергию движения как действительную составляющую импульса и разлагая в ряд по степеням относительно $\omega$, мы также получим зависимость энергии как квадратичную функцию от угловой скорости в первом прибижении:
$$
\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-mc^2\approx m\frac{v^2}{2}
$$
$$
\frac{mc^2}{\sqrt{1-r^2\omega^2/c^2}}-mc^2\approx mr^2\frac{\omega^2}{2}
$$
И теперь в энергию релятивистского движения можно включать как скорость линейного поступательного движения, так и скорость вращательного движения. В обоих случаях вклады скоростей в энергетику квадратичны:
$$
E\approx m\frac{v^2}{2}
$$
$$
E\approx mr^2\frac{\omega^2}{2} = I\frac{\omega^2}{2}
$$
Нужно не забывать, конечно, что это лишь первые приближения разложений энергии в ряд Тейлора.
Ссылки:
1. Про кинетическую энергию
https://thedarkaugust.blogspot.com/2019/09/blog-post.html
2. О переходе преобразования Лоренца в преобразования Галилея
https://thedarkaugust.blogspot.com/2019/06/blog-post.html
Комментариев нет:
Отправить комментарий