Processing math: 100%

вторник, 25 июня 2019 г.

О переходе преобразования Лоренца в преобразования Галилея

Во многих источниках упоминается, что преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при устремлении скорости света c по своему значению к бесконечности. Так ли это, попробуем разобраться.

Преобразования Галилея задают приращение координаты в зависимости от времени и скорости: Δx=VΔt При этом полагается, что приращение времени не зависит ни от чего, и значение временной координаты то же самое после преобразования, что и до него.

Обозначив штрихованной преобразованную систему отсчета, получим систему уравнений: {t=t+0xx=Vt+x В матричных обозначениях это равно: (tx)=(10V1)(tx) Преобразования Лоренца задаются в координатах (ct, x) как гиперболический поворот в плоскости (ct, x): {ct=ch(φ)ct+sh(φ)xx=sh(φ)ct+ch(φ)x Взяв дифференциалы, получим при φ=const: {cdt=ch(φ)cdt+sh(φ)dxdx=sh(φ)cdt+ch(φ)dx Если исходная нештрихованная система отсчета покоится, то в ней dx=0 и преобразованная относительно нее система отсчета движется со скоростью: dxcdt=sh(φ)ch(φ)=th(φ) dx/dt есть скорость движения штрихованной системы отсчета относительно нештрихованной, и dxcdt=Vc Раскроем гиперболические функции через V: ch(φ)=11th2(φ)=11V2/c2 shφ=V/c1V2/c2 Сведем преобразования Лоренца к матричной форме: (ctx)=(ch(φ)sh(φ)sh(φ)ch(φ))(ctx) и сравним с преобразованиями Галилея, приведенным к тем же координатам (ct, x): (ctx)=(10V/c1)(ctx) Очевидно, что каким бы ни было значение φ, матрица преобразований Лоренца по-прежнему будет иметь равные внедиагональные элементы (и равные диагональные). Но матрица преобразований Галилея имеет не равные внедиагональные элементы. Чтобы одна матрица стала равна другой, надо сделать так, чтобы V в преобразованиях Галилея стало равным 0. В этом случае получаем (ctx)=(1001)(ctx) Этому варианту соответствует преобразование Лоренца при φ=0: ch(0)=1 sh(0)=0 Но этот вариант соответствует штрихованной системе отсчета, не движущейся относительно нештрихованной. Очевидно, что этот вариант не тот, который нас интересует. И, формально, можем сделать вывод, что в координатах (ct', x) преобразование Лоренца не может переходить в преобразование Галилея если системы отсчета движутся друг относительно друга, чему бы ни была равна скорость света c.

Перейдем к обозначениям не через φ, а через V в преобразованиях Лоренца: {ct=11V2/c2ct+V/c1V2/c2xx=V/c1V2/c2ct+11V2/c2x Во втором уравнении сократим скорость света: x=V1V2/c2t+11V2/c2x и, тут внимание, то же самое сделаем в первом уравнении, но с обеими частями: t=11V2/c2t+V/c21V2/c2x Таким образом, мы перешли от системы координат (ct, x) к системе координат (t, x) полагая, что скорость света c есть величина, на которую можно умножать и делить обе части уравнения.

В полученных для системы координат (t, x) преобразованиях выполним предельный переход, устремив значение c к бесконечности и получим вполне знакомое уже: {t=t+0xx=Vt+x Это и есть преобразование Галилея. Собственно, об этом трюке и идет речь,когда говорят, что преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея при устремлении c к бесконечности. Вообще говоря, в этом трюке содержится мошенничество, состоящее в том, что мы целое уравнение делим на значение c, которое впоследствии приравниваем к бесконечности. Это трюк того же рода, когда все уравнение умножается на ноль, и левая и правая части. В результате такой махинации можно получить в принципе практически что угодно.

Если есть уравнение 0a=0b то оно верно вне зависимости от того, что мы впишем вместо a и b.

И, если говорить строго, то преобразования Лоренца ну никак не переходят в преобразования Галилея, это разные преобразования вне зависимости от того чему мы полагает равной скорость света. Правильной записью преобразования Лоренца является запись преобразования в системе координат (ct, x), а не в системе координат (t, x) и при сравнении преобразований они должны быть в одной системе координат.

Комментариев нет:

Отправить комментарий