Во многих источниках упоминается, что преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при устремлении скорости
света c по своему значению к бесконечности. Так ли это, попробуем разобраться.
Преобразования Галилея задают приращение координаты в зависимости от времени и скорости: Δx=VΔt При этом полагается, что приращение времени не зависит ни от чего, и значение временной координаты то же самое после преобразования, что и до него.
Обозначив штрихованной преобразованную систему отсчета, получим систему уравнений: {t′=t+0xx′=Vt+x В матричных обозначениях это равно: (t′x′)=(10V1)(tx) Преобразования Лоренца задаются в координатах (ct, x) как гиперболический поворот в плоскости (ct, x): {ct′=ch(φ)ct+sh(φ)xx′=sh(φ)ct+ch(φ)x Взяв дифференциалы, получим при φ=const: {cdt′=ch(φ)cdt+sh(φ)dxdx′=sh(φ)cdt+ch(φ)dx Если исходная нештрихованная система отсчета покоится, то в ней dx=0 и преобразованная относительно нее система отсчета движется со скоростью: dx′cdt′=sh(φ)ch(φ)=th(φ) dx′/dt′ есть скорость движения штрихованной системы отсчета относительно нештрихованной, и dx′cdt′=Vc Раскроем гиперболические функции через V: ch(φ)=1√1−th2(φ)=1√1−V2/c2 shφ=V/c√1−V2/c2 Сведем преобразования Лоренца к матричной форме: (ct′x′)=(ch(φ)sh(φ)sh(φ)ch(φ))(ctx) и сравним с преобразованиями Галилея, приведенным к тем же координатам (ct, x): (ct′x′)=(10V/c1)(ctx) Очевидно, что каким бы ни было значение φ, матрица преобразований Лоренца по-прежнему будет иметь равные внедиагональные элементы (и равные диагональные). Но матрица преобразований Галилея имеет не равные внедиагональные элементы. Чтобы одна матрица стала равна другой, надо сделать так, чтобы V в преобразованиях Галилея стало равным 0. В этом случае получаем (ct′x′)=(1001)(ctx) Этому варианту соответствует преобразование Лоренца при φ=0: ch(0)=1 sh(0)=0 Но этот вариант соответствует штрихованной системе отсчета, не движущейся относительно нештрихованной. Очевидно, что этот вариант не тот, который нас интересует. И, формально, можем сделать вывод, что в координатах (ct', x) преобразование Лоренца не может переходить в преобразование Галилея если системы отсчета движутся друг относительно друга, чему бы ни была равна скорость света c.
Перейдем к обозначениям не через φ, а через V в преобразованиях Лоренца: {ct′=1√1−V2/c2ct+V/c√1−V2/c2xx′=V/c√1−V2/c2ct+1√1−V2/c2x Во втором уравнении сократим скорость света: x′=V√1−V2/c2t+1√1−V2/c2x и, тут внимание, то же самое сделаем в первом уравнении, но с обеими частями: t′=1√1−V2/c2t+V/c2√1−V2/c2x Таким образом, мы перешли от системы координат (ct, x) к системе координат (t, x) полагая, что скорость света c есть величина, на которую можно умножать и делить обе части уравнения.
В полученных для системы координат (t, x) преобразованиях выполним предельный переход, устремив значение c к бесконечности и получим вполне знакомое уже: {t′=t+0xx′=Vt+x Это и есть преобразование Галилея. Собственно, об этом трюке и идет речь,когда говорят, что преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея при устремлении c к бесконечности. Вообще говоря, в этом трюке содержится мошенничество, состоящее в том, что мы целое уравнение делим на значение c, которое впоследствии приравниваем к бесконечности. Это трюк того же рода, когда все уравнение умножается на ноль, и левая и правая части. В результате такой махинации можно получить в принципе практически что угодно.
Если есть уравнение 0a=0b то оно верно вне зависимости от того, что мы впишем вместо a и b.
И, если говорить строго, то преобразования Лоренца ну никак не переходят в преобразования Галилея, это разные преобразования вне зависимости от того чему мы полагает равной скорость света. Правильной записью преобразования Лоренца является запись преобразования в системе координат (ct, x), а не в системе координат (t, x) и при сравнении преобразований они должны быть в одной системе координат.
Преобразования Галилея задают приращение координаты в зависимости от времени и скорости: Δx=VΔt При этом полагается, что приращение времени не зависит ни от чего, и значение временной координаты то же самое после преобразования, что и до него.
Обозначив штрихованной преобразованную систему отсчета, получим систему уравнений: {t′=t+0xx′=Vt+x В матричных обозначениях это равно: (t′x′)=(10V1)(tx) Преобразования Лоренца задаются в координатах (ct, x) как гиперболический поворот в плоскости (ct, x): {ct′=ch(φ)ct+sh(φ)xx′=sh(φ)ct+ch(φ)x Взяв дифференциалы, получим при φ=const: {cdt′=ch(φ)cdt+sh(φ)dxdx′=sh(φ)cdt+ch(φ)dx Если исходная нештрихованная система отсчета покоится, то в ней dx=0 и преобразованная относительно нее система отсчета движется со скоростью: dx′cdt′=sh(φ)ch(φ)=th(φ) dx′/dt′ есть скорость движения штрихованной системы отсчета относительно нештрихованной, и dx′cdt′=Vc Раскроем гиперболические функции через V: ch(φ)=1√1−th2(φ)=1√1−V2/c2 shφ=V/c√1−V2/c2 Сведем преобразования Лоренца к матричной форме: (ct′x′)=(ch(φ)sh(φ)sh(φ)ch(φ))(ctx) и сравним с преобразованиями Галилея, приведенным к тем же координатам (ct, x): (ct′x′)=(10V/c1)(ctx) Очевидно, что каким бы ни было значение φ, матрица преобразований Лоренца по-прежнему будет иметь равные внедиагональные элементы (и равные диагональные). Но матрица преобразований Галилея имеет не равные внедиагональные элементы. Чтобы одна матрица стала равна другой, надо сделать так, чтобы V в преобразованиях Галилея стало равным 0. В этом случае получаем (ct′x′)=(1001)(ctx) Этому варианту соответствует преобразование Лоренца при φ=0: ch(0)=1 sh(0)=0 Но этот вариант соответствует штрихованной системе отсчета, не движущейся относительно нештрихованной. Очевидно, что этот вариант не тот, который нас интересует. И, формально, можем сделать вывод, что в координатах (ct', x) преобразование Лоренца не может переходить в преобразование Галилея если системы отсчета движутся друг относительно друга, чему бы ни была равна скорость света c.
Перейдем к обозначениям не через φ, а через V в преобразованиях Лоренца: {ct′=1√1−V2/c2ct+V/c√1−V2/c2xx′=V/c√1−V2/c2ct+1√1−V2/c2x Во втором уравнении сократим скорость света: x′=V√1−V2/c2t+1√1−V2/c2x и, тут внимание, то же самое сделаем в первом уравнении, но с обеими частями: t′=1√1−V2/c2t+V/c2√1−V2/c2x Таким образом, мы перешли от системы координат (ct, x) к системе координат (t, x) полагая, что скорость света c есть величина, на которую можно умножать и делить обе части уравнения.
В полученных для системы координат (t, x) преобразованиях выполним предельный переход, устремив значение c к бесконечности и получим вполне знакомое уже: {t′=t+0xx′=Vt+x Это и есть преобразование Галилея. Собственно, об этом трюке и идет речь,когда говорят, что преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея при устремлении c к бесконечности. Вообще говоря, в этом трюке содержится мошенничество, состоящее в том, что мы целое уравнение делим на значение c, которое впоследствии приравниваем к бесконечности. Это трюк того же рода, когда все уравнение умножается на ноль, и левая и правая части. В результате такой махинации можно получить в принципе практически что угодно.
Если есть уравнение 0a=0b то оно верно вне зависимости от того, что мы впишем вместо a и b.
И, если говорить строго, то преобразования Лоренца ну никак не переходят в преобразования Галилея, это разные преобразования вне зависимости от того чему мы полагает равной скорость света. Правильной записью преобразования Лоренца является запись преобразования в системе координат (ct, x), а не в системе координат (t, x) и при сравнении преобразований они должны быть в одной системе координат.
Комментариев нет:
Отправить комментарий