Про кинетическую энергию

Студент зачитался книжкой на ходу и ударился головой об столб. Идет дальше, чешет голову и говорит:
- Хорошо, что пополам, хорошо что пополам...
Второй:
- Что пополам?
- Что эм ве квадрат пополам.

И теперь попробуем разобраться, что там в кинетической энергии пополам, а что не пополам.

Кинетическая энергия есть то что возрастает у объекта при увеличении его скорости. Если кратко, то $$E_k = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-mc^2$$ Не сразу увидишь в этом привычное выражение $$E_k=\frac{mv^2}{2}$$ но мы попробуем.

Функция $E_k$ как зависящая от скорости $v$ разложима в ряд Тейлора по степеням $v$. Первые члены таковы: $$E_k = \frac{mv^2}{2} + \frac{3v^4}{8c^2} + \frac{5v^6}{16c^4}+\frac{35v^8}{128c^6}+$$ $$\frac{63v^{10}}{256c^8}+\frac{231v^{12}}{1024c^{10}}+\frac{429v^{14}}{2048c^{12}}+$$ $$\frac{6435v^{16}}{32768c^{14}}+\frac{12155v^{18}}{65536c^{16}}+\frac{46189v^{22}}{524288c^{20}}+$$ $$\frac{676039v^{24}}{4194304c^{22}}+\frac{1300075v^{26}}{8388608c^{24}}+\frac{5014575v^{28}}{33554432c^{26}}$$ И, в действительности, лишь член ряда при степени 2 не содержит скорости света.

При малых скоростях, действительно, из-за большой величины c остальные члены очень малы. Но все члены входят со знаком + и скорость $v$ стоит в степени на 2 больше чем $c$. Поэтому при возрастании скорости кинетическая энергия все сильнее отличается от привычного выражения $$E_k=\frac{mv^2}{2}$$ и по мере приближения скорости $v$ к $c$ уходит к вертикальной асимптоте (ну, примерно как функция тангенс).

Так что, с одной стороны, строго говоря, оно не так чтобы именно пополам, но, с другой, очень похоже.