вторник, 10 мая 2016 г.

Почему векторное произведение - это площадь?


У формулы векторного произведения, построенного на двух 3-мерных векторах, есть две формулы его величины: 1) формула на словах определяющая направление результата и описывающая величину в виде произведения модулей векторов на синус угла между ними и 2) формула задающая значения каждой из компонент результата на основе компонент исходных векторов.

Как ни странно, но обе эти формулы есть выражение одной и той же величины, и это площадь параллелограмма натянутого на исходные векторы. Формулы настолько разные, но описывают одно и то же, почему так?

Рассмотрим обе формулы детально:

Первая формула: $$ c=|a||b|\sin(\widehat{a,b}) $$ Вторая формула: $$ c_z=a_xb_y-a_yb_x $$ С первой формулой понятно, если одну из сторон параллелограмма взять (например, $a$) и опустить из нее перпендикуляр на вторую ($b$), то это будет высота, и величина перпендикуляра равна именно $|a|\sin(\widehat{a,b})$. Если заранее знать, что векторное произведение - это именно площадь, то такая формула конечно верна. Но как вывести, что векторное произведение это именно площадь, почему произведение $a_xb_y-a_yb_x$ есть именно площадь и почему именно так сложно надо умножать, и почему из одного прямоугольника $a_xb_y$ надо вычитать другой $a_yb_x$?

Рассмотрим образование площади параллелограмма:

По схеме на рисунке (Рис. \ref{pic3mnimyinvariant}) видно, что искомый (заштрихованный) параллелограмм входит в общий прямоугольник, ограниченный точками 0 -- $a_0,b_0$ -- C -- $a_1,b_1$, из которого надо вырезать 2 прямоугольника 1 и 6, 2 треугольника 2 и 5 и 2 треугольника 3 и 4, причем перечисленные фигуры попарно равны. Найдем общую площадь: $$ S_{OC} =(a_0+b_1)(a_1+b)=a_0a_1+a_0b_1+b_0a_1+b_0b_1 $$ Площади попарно равных фигур равны следующим выражениям: $$ \begin{array}{c} S_1+S_6=2b_0a_1 \\ S_2+S_5=a_0a_1 \\ S_3+S_4=b_0b_1 \end{array} $$ Вычитая из общей площади $S_{OC}$ площади не входящих в параллелограмм фигур, получаем площадь самого параллелограмма: $$ S=a_0b_1-a_1b_0 $$ Это так называемая ориентированная площадь -- стоит лишь переставить вектора местами и площадь изменит знак, и может быв положительной стать отрицательной или наоборот, из отрицательной стать положительной. То, что в геометрии понимают под величиной площади, здесь есть величина произведения: $$ |S|=|a_0b_1-a_1b_0| $$ Что любопытно, сам результат - векторное произведение - есть величина ориентированная и представляет собой вектор. $$ c=c_xi+c_yj+c_zk $$ Но его отдельные компоненты есть величины порядка площади, то есть каждая из компонент вектора есть площадь. Для образования общей величины вектора векторного произведения нужно оперировать этими площадями также как обычными компонентами вектора: $$ |c| = \sqrt{c_x^2+c_y^2+c_z^2} $$

Комментариев нет:

Отправить комментарий