Если есть исследованное ранее скалярное произведение гиперкомплексных чисел как взятие скалярной части от произведения взаимносопряженных чисел, то также будет интересно применить это же правило к спинорным величинам. И к чему это приведет, попробуем разобраться.
Если есть преобразование векторов в некой заданной системе координат, и это преобразование есть преобразование Лоренца
$$
X\rightarrow LX\bar{L}^*
$$
то спиноры при таких преобразованиях в этой же системе отсчета преобразуются тем же полуоператором
$$
\xi\rightarrow\xi\bar{L}^*
$$
и получают новые значения компонент в той же системе координат, если так можно говорить о компонентах спиноров, в действительности не являющихся векторами.
Теперь возьмем два спинора $\xi$ и $\chi$, не требуя чтобы они были строго разными. Они оба преобразуются как:
$$
\begin{array}{c}
\xi\rightarrow\xi\bar{L}^* \\
\chi\rightarrow\chi\bar{L}^*
\end{array}
$$
Теперь возьмем произведение взаимно сопряженных следующим образом:
$$
\xi\bar{\chi}\rightarrow\xi\bar{L}^*L^*\bar{\chi}
$$
Выражение $L$ зависит лишь от векторных компонент своих параметров, угла $\varphi$ и быстроты $\psi$, поэтому векторное сопряжение полуоператора $L$ при отсутствии псевдоскалярного параметра одновременно является и алгебраическим:
$$
\bar{L}^*L^*=(\bar{L}L)^*=1
$$
Таким образом, если задано преобразование компонент векторов в виде преобразования Лоренца, то произведение спиноров
$$
\xi\bar{\chi}
$$
есть инвариант, не зависящий от параметров выбранного преобразования Лоренца.
Ранее, в теме получения векторов и композиционных величин из произведений спиноров, было найдено что для спиноров есть внутренняя степень свободы. Они могут быть дополнительно умножены слева на величину $Q$ такую, что
$$
\begin{array}{c}
|Q|=1 \\
\xi\rightarrow Q\xi \\
Q^*=Q
\end{array}
$$
И в этом случае векторы и композиционные величины, образованные из спиноров, не изменятся. При этом инвариантное произведение будет преобразовываться:
$$
\xi\bar{\chi}\rightarrow Q\xi\bar{\chi}\bar{Q}
$$
Здесь операторы $Q$, удовлетворяющие вышеприведенным условиям, выполняют вращение компонент гиперкомплексного числа $\xi\bar{\chi}$ как если бы это были векторные вращения.
В силу произвольности выбора $Q$ при сохранении условий
$$
\begin{array}{c}
|Q|=1 \\
Q^*=Q
\end{array}
$$
в инвариантном произведении $\xi\bar{\chi}$ реальным инвариантом, соответственно, остаются лишь скалярная и псевдоскалярная части, которые не изменяются при вращении:
$$
S\rightarrow QS\bar{Q}=SQ\bar{Q}=S
$$
Таким образом, для гиперкомплексных спиноров инвариантным произведением будет аналог скалярного произведения для векторов:
$$
\mathrm{Scl}(\xi\bar{\chi})=\mathrm{inv}
$$
Гиперкомплексные спиноры, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий