Процитируем:
Псевдоскалярным или косым произведением векторов ${\bf a}$ и ${\bf b}$ на плоскости называется число $$ {\bf a}\wedge {\bf b}=|{\bf a}|\,|{\bf b}|\cdot\sin\Theta $$ где $\Theta=\angle({\bf a},{\bf b})$ - угол вращения от ${\bf a}$ к ${\bf b}$. Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов.Можем даже опустить тот факт, что два вектора сами по себе задают плоскость если они не являются перекрещивающимися без возможности параллельного переноса в одну точку приложения.
Разберем, что здесь написано.
Величины $|{\bf a}|$, $|{\bf b}|$ и $\sin\Theta$ являются скалярами. Поскольку произведение скаляров есть скаляр, то здесь описана скалярная величина.
Далее в Википедии стоит попытка оправдаться:
Если рассматривать плоскость в трехмерном пространстве, то $$ {\bf a}\wedge {\bf b}=\pm({\bf a}\times{\bf b})\cdot{\bf n} $$ где $\times$ и $\cdot$ соответственно веткорное и скалярное произведения, а ${\bf n}$ - единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае если правый базис на плоскости, дополненный вектором ${\bf n}$, образует также правый базис, иначе минус.Мне не удалось понять что такое правый базис на плоскости, но видимо это и не важно, в целом видимо речь идет о правом базисе вместе всех трех векторов.
Результатом векторного произведения (как двух полярных, так и двух аксиальных) является аксиальный вектор. Нормаль всегда является аксиальным вектором по той же причине. Скалярное произведение аксиальных векторов всегда является скаляром. Числа $+1$ и $-1$ являются скалярами. Поэтому и эта формула задает не псевдоскаляр, а скаляр. Судя по тому, что знаки $\pm$ нужно проставлять самолично, к любой такой формуле должен прилагаться и специально обученный человек, которого хлебом не корми, дай отследить у кого какая система координат - правая или левая и чтобы выдавать нужную формулу со специального склада.
Вот аксиальные векторы, например, вектор угловой скорости, как-то сами по себе меняют знак при смене ориентирования системы координат и никаких специально обученных людей не требуется, а тут вот потребовалось.
Так как же образуется псевдоскалярное произведение и как оно выглядит?
Нужно взять два векторных бикватерниона (если мы интересуемся произведением именно для векторов) и для второго из них найти алгебраически сопряженный.
Пусть есть величины $a$ и $b$. Для величины b алгебраическое сопряжение это $\overline{b}$: $$ b\overline{b}=|b|^2 $$ После чего надо взять произведение $$ a\overline{b} $$ После чего взять скалярную часть $$ Scl(a\overline{b}) $$ Она будет состоять из двух компонентов - действительной $$ Re(Scl(a\overline{b}))=S(a,b) $$ И мнимой: $$ Im(Scl(a\overline{b}))=S^*(a,b) $$ Здесь первая величина и есть скалярное произведение, а вторая - псевдоскалярное.
Пусть величины $a$ и $b$ обе содержат лишь векторные величины: $$ a=Iia_1+Ija_2+Ika_3+ia_5+ja_6+ka_7 $$ $$ b=Iib_1+Ijb_2+Ikb_3+ib_5+jb_6+kb_7 $$ И рассмотрим по отдельности каждое из сочетаний. 1) $a$ полярный вектор и $b$ полярный $$ a=Iia_1+Ija_2+Ika_3 $$ $$ b=Iib_1+Ijb_2+Ikb_3 $$ $$ \bar{b}=-Iib_1-Ijb_2-Ikb_3 $$ Произведение $a\bar{b}$ не содержит псевдоскалярной части, и поэтому для полярных векторов $$ S^*(a,b)=0 $$ 2) $a$ полярный и $b$ аксиальный $$ a=Iia_1+Ija_2+Ika_3 $$ $$ b=ib_5+jb_6+kb_7 $$ $$ \bar{b}=-ib_5-jb_6-kb_7 $$ Произведение этих величин в псевдоскалярной части содержит величину: $$ S^*(a,b)=a_7b_5+a_2b_6+a_3b_7 $$ 3) $a$ аксиальный и $b$ полярный $$ a=ia_5+ja_6+ka_7 $$ $$ b=Iib_1+Ijb_2+Ikb_3 $$ $$ \bar{b}=-Iib_1-Ijb_2-Ikb_3 $$ Произведение этих величин в псевдоскалярной части содержит величину: $$ S^*(a,b)=a_5b_1+a_6b_2+a_7b_3 $$ 4) $a$ аксиальный и $b$ аксиальный $$ a=ia_5+ja_6+ka_7 $$ $$ b=ib_5+jb_6+kb_7 $$ $$ \bar{b}=-ib_5-jb_6-kb_7 $$ Произведение $a\bar{b}$ не содержит псевдоскалярной части в этом случае: $$ S^*(a,b)=0 $$ Конечно, в любом случае как любой викватернион так и произведение и сумма любых бикватернионов являются бикватернионами и в них присутствуют компоненты по всем мнимым единицам. И в данном случае под словами "содержит" или "не содержит", конечно, понимаются "в общем случае не равно нулю" и "всегда равно нулю".
Как видим, псевдоскалярное произведение двух полярных или двух аксиальных векторов равно нулю. Но если векторы различны по природе ,один полярный а другой аксиальный, то псевдоскалярное произведение выглядит как скалярное произведение векторов, составленных из их компонентов.
Очевидно, что псевдоскалярное произведение аксиального и полярного вектора может быть выражено через скалярное произведение аксиальных или полярных векторов, образованных из исходных: $$ S^*(a,b)=S(a,-Ib) $$ $$ S^*(a,b)=S(Ia,b) $$ Нужно понимать, что вообще говоря скалярное произведение между разнородными по природе векторами, как и псевдоскалярное между однородными, невозможно, то есть оно всегда 0. Но умножением на псевдоскаляр с нужным знаком мы можем достичь результата в понимаемом смысле.
В той же статье в Википедии о псевдоскалярном произведении указано:
Аналогом псевдоскалярного произведения в 3-мерном пространстве является тройное скалярное произведение: $$ (a,b,c)=a\cdot(b\times c) $$Очевидно, что результатом векторного произведения является аксиальный вектор, но скалярного произведения полярного на аксиальный быть не может. ПОэтому здесь понимается искусственное домножение либо $(b\times c)$ либо $a$ на псевдоскаляр, взятие скалярного произведения, после чего домножение на псевдоскаляр еще раз, чтобы результат не был скаляром.
Собственно говоря, проблема невозможности скалярного произведения полярного и аксиального вектора в том, что нет никакой меры сонаправленности между объектами, лежащими в разных пространствах. Для того, чтобы между полярным и аксиальным вектором могло существовать ненулевое скалярно произведение, необходимо дополниять один из векторов скалярной и одновременно псевдоскалярной частью, с тем чтобы взятие сопряденного дало соответственно асиальную и полярную составляющие. Об этом явлении опишем позже, в отдельном посте.
Итак, что касается 3-мерных векторов, то их псевдоскалярное произведение в отношении компонентов выглядит не как векторное, а как скалярное. Что касается псевдоскалярного произведения описанного в Википедии, то оно описывает случай 2-мерных алгебр:
Скалярное и псевдоскалярное произведения в двумерных алгебрахНо это относится не к векторам, а к комплекснозначным скалярам.
Комментариев нет:
Отправить комментарий