Если есть скалярное произведение двух гиперкомплексных чисел и оба они испытывают одинаковое преобразование, то как преобразуется их скалярное произведение? Попробуем разобраться.
Для гиперкомплексных чисел $x$ и $y$ их скалярное произведение выводится как скалярная часть оператора, переводящего одно из них чисел в другое:
$$
S(x,y)=Re(x\overline{y})
$$
здесь $\overline{y}$ - алгебраическое сопряжение. Положим, что оба числа испытывают преобразование:
$$
x\rightarrow axb=x'
$$
$$
y\rightarrow ayb=y'
$$
В этом случае их скалярное произведение становится равным:
$$
S(x',y')=Re(x'\:\overline{y'})=Re(axb\:\overline{b}\:\overline{y}\:\overline{a})
$$
Поскольку модули чисел $a$ и $b$ мы всегда можем вынести то считаем что
$$
|a|=|b|=1
$$
Поэтому
$$
b\:\overline{b}=1
$$
И получаем
$$
Re(ax\:\overline{y}\:\overline{a})
$$
Само число $a$ может быть представлено как произведение чисто скалярного и чисто векторного числа:
$$
a=e^{\varphi_S}e^{\varphi_V}
$$
Поскольку скалярные части коммутируют, они сокращаются:
$$
e^{\varphi_S}e^{\varphi_V}x\:\overline{y}e^{-\varphi_V}e^{-\varphi_S}=
e^{\varphi_V}x\:\overline{y}e^{-\varphi_V}
$$
Оставшаяся часть есть по своему физическому смыслу оператор векторного вращения на угол $2\varphi_V$. Для него используем свойство оставлять неизменной скалярную часть операнда.
То есть какой бы ни была величина $\varphi_V$, она не меняет скалярную часть $x\:\overline{y}$. То есть если вначале она была нулевая и исходная величина была
$$
Re(e^0x\:\overline{y}e^0)=Re(x\:\overline{y})
$$
то при любой другой величине $\varphi_V$:
$$
Re(e^{\varphi_V}x\:\overline{y}e^{-\varphi_V})=Re(x\:\overline{y})
$$
Таким образом, скалярное произведение гиперкомплексных чисел, выведенное как действительная часть их взаимного отношения
$$
S(x,y)=Re(x\overline{y})
$$
остается инвариантной при преобразованиях вида
$$
x\rightarrow axb
$$
если
$$
|a|=|b|=1
$$
Преобразования, оставляющие инвариантным скалярное произведение, еще называются ортогональными преобразованиями.
Комментариев нет:
Отправить комментарий