Мы рассматривали преобразование светового движения в гиперкомплексных числах. Но оно является линейным по компонентам преобразуемого вектора. Как выглядит матрица светового преобразования? Попробуем разобраться.
Световое преобразование $$ X'=(1/2+V/2)X(1/2+V/2) $$ преобразует вектор $$ X=X_0+IjX_1+IjX_2+IkX_3 $$ и его можно представить как обычный вектор в виде вектор-столбца $$ X=\left( \begin{array}{c} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{array}\right) $$ на который умножается матрица.
Полуоператоры преобразования $$ 1/2+V/2 $$ также содержат сокращенную запись вектора $$ V=IiV_x+IjV_y+IkV_z $$ Раскрыв произведение полуоператоров на преобразуемый вектор, используя свойства векторного произведения и приводя подобные, а также учитывая дополнительно наложенное условие $$ V_x^2+V_y^2+V_z^2=1 $$ получаем матрицу $$ M_v=\left( \begin{array}{cccc} 1/2 & V_x/2 & V_y/2 & V_z/2 \\ V_x/2 & V_x^2/2 & V_xV_y/2 & V_xV_z/2 \\ V_y/2 & V_xV_y/2 & V_y^2/2 & V_yV_z/2 \\ V_z/2 & V_xV_z/2 & V_yV_z/2 & V_z^2/2 \\ \end{array} \right) $$ Умножение такой матрицы на преобразуемый вектор пространства-времени и дает искомое преобразование в матричной форме: $$ X'=M_vX $$
Движение света. Оглавление.
Световое преобразование $$ X'=(1/2+V/2)X(1/2+V/2) $$ преобразует вектор $$ X=X_0+IjX_1+IjX_2+IkX_3 $$ и его можно представить как обычный вектор в виде вектор-столбца $$ X=\left( \begin{array}{c} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{array}\right) $$ на который умножается матрица.
Полуоператоры преобразования $$ 1/2+V/2 $$ также содержат сокращенную запись вектора $$ V=IiV_x+IjV_y+IkV_z $$ Раскрыв произведение полуоператоров на преобразуемый вектор, используя свойства векторного произведения и приводя подобные, а также учитывая дополнительно наложенное условие $$ V_x^2+V_y^2+V_z^2=1 $$ получаем матрицу $$ M_v=\left( \begin{array}{cccc} 1/2 & V_x/2 & V_y/2 & V_z/2 \\ V_x/2 & V_x^2/2 & V_xV_y/2 & V_xV_z/2 \\ V_y/2 & V_xV_y/2 & V_y^2/2 & V_yV_z/2 \\ V_z/2 & V_xV_z/2 & V_yV_z/2 & V_z^2/2 \\ \end{array} \right) $$ Умножение такой матрицы на преобразуемый вектор пространства-времени и дает искомое преобразование в матричной форме: $$ X'=M_vX $$
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий