Если есть два различных нуль-модуля, то как и чем они могут отличаться, чтобы
считаться разными? Попробуем разобраться.
Мы будем рассматривать для начала лишь нуль-модули с ненулевой полярной частью: $$ a+aI\frac{i\alpha_a+j\beta_a+k\gamma_a}{\sqrt{\alpha_a^2+\beta_a^2+\gamma_a^2}} $$ Очевидным отличием от другого нуль-модуля $$ b+bI\frac{i\alpha_b+j\beta_b+k\gamma_b}{\sqrt{\alpha_b^2+\beta_b^2+\gamma_b^2}} $$ является соотношение направляющих косинусов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, задающих направление векторных частей.
Вторым ключевым отличием является соотношение величин $a$ и $b$. Не нужно думать, что если в задании нуль-модуля используются 4 числа, то это число 4-мерное. Поскольку на величину нуль-модуля наложено ограничение в равенстве нулю его модуля, все нель-модули задаются лишь 3-мя действительно независимыми компонентами. Направляющие косинусы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ в действительности связаны соотношением $$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1 $$ Независимой от них величиной является величина при действительной компоненте, при действительной мнимой единице, ето $a$ и $b$ в приведенных примерах соответственно.
Если модуль нуль-модулей равен нулю, то они могут иметь различные значения при действительных единицах, то могут ли эти значения описывать некую величину нуль-модулей? Назовем такое отличие величин с величиной 0 собственной величиной.
Рассмотрим для понимания произведение двух действительных чисел: $$ a \cdot 1\cdot b \cdot 1 = ab \cdot 1 $$ Здесь величины при действительной единице играют роль величины числа, а сама действительная единица 1 имеет свойство $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ Попробуем найти и для нуль-модулей такие, которые соответствуют тому же правилу, что произведение их есть это же число: $$ A \cdot A = A $$ где $A$ - нуль-модуль. В алгебре величины, для которых существует целое положительное число $n$ и выполняется равенство $$ A^n=A $$ называются идемпотентами.
Рассмотрим одномерный вариант и найдем для него соответствующий для него идемпотент: $$ A=x+Iix $$ $$ A^2=(x+Iix)(x+Iix) $$ $$ A^2=2x^2+Ii2x^2 $$ Соответственно, чтобы число $A$ было идемпотентом, должно выполняться условие, налагаемое на $x$: $$ 2x^2=x $$ Следовательно, $$ x=1/2 $$ Соответственно, число $$ 1/2+Ii/2 $$ является идемпотентом при $n$ начиная с 2 и больше: $$ (1/2+Ii/2)^n=1/2+Ii/2 $$ Если нуль-модуль $$ x+Iix $$ представлять как произведение действительного числа на идемпотент, то такое действительное число $n$ выполняет роль собственной величины нуль-модуля: $$ x+Iix = 2x(1/2+Ii/2) $$ Соответственно, произведение двух нуль-модулей в определенном смысле аналогично произведению двух действительных чисел: $$ (a+Iia)(b+Iib)= $$ $$ =2a(1/2+Ii/2)2b(1/2+Ii/2)= $$ $$ =4ab(1/2+Ii/2) $$ И, если собственные величины нуль-модулей были равны соответственно $2a$ и $2b$, то собственная величина их произведения равна $4ab$. Не нужно путать собственную величину и модуль - модули и у первого и у второго числа и у их произведения равны 0.
Пытливый ум уже, конечно, обратил внимание на то, что изложение о свойствах идемпотентов велось для случая $n=2$: $$ A^2=A $$ Да, можно использовать и другие степени. Посмотрим, к чему они приводят и как выглядят идемпотенты других степеней. Например, для степени 3: $$ (x+Iix)^3=4x^3(1+Ii) $$ Следовательно, для степени 3 идемпотентом будут являться числа $$ 4x^3=x $$ $$ x=\sqrt{1/4}=1/2 $$ Продолжая для других степеней, получим для произвольной положительной целой степени $n$: $$ (x+Iix)^n=2^{n-1}x^n(1+Ii) $$ Решая уравнение $$ 2^{n-1}x^n=x $$ получим $$ x=1/2 $$ Таким образом, в алгебре бикватернионов идемпотенты произвольной степени $n$ совпадают с идемпотентами степени 2.
Движение света. Оглавление.
Мы будем рассматривать для начала лишь нуль-модули с ненулевой полярной частью: $$ a+aI\frac{i\alpha_a+j\beta_a+k\gamma_a}{\sqrt{\alpha_a^2+\beta_a^2+\gamma_a^2}} $$ Очевидным отличием от другого нуль-модуля $$ b+bI\frac{i\alpha_b+j\beta_b+k\gamma_b}{\sqrt{\alpha_b^2+\beta_b^2+\gamma_b^2}} $$ является соотношение направляющих косинусов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, задающих направление векторных частей.
Вторым ключевым отличием является соотношение величин $a$ и $b$. Не нужно думать, что если в задании нуль-модуля используются 4 числа, то это число 4-мерное. Поскольку на величину нуль-модуля наложено ограничение в равенстве нулю его модуля, все нель-модули задаются лишь 3-мя действительно независимыми компонентами. Направляющие косинусы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ в действительности связаны соотношением $$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1 $$ Независимой от них величиной является величина при действительной компоненте, при действительной мнимой единице, ето $a$ и $b$ в приведенных примерах соответственно.
Если модуль нуль-модулей равен нулю, то они могут иметь различные значения при действительных единицах, то могут ли эти значения описывать некую величину нуль-модулей? Назовем такое отличие величин с величиной 0 собственной величиной.
Рассмотрим для понимания произведение двух действительных чисел: $$ a \cdot 1\cdot b \cdot 1 = ab \cdot 1 $$ Здесь величины при действительной единице играют роль величины числа, а сама действительная единица 1 имеет свойство $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ Попробуем найти и для нуль-модулей такие, которые соответствуют тому же правилу, что произведение их есть это же число: $$ A \cdot A = A $$ где $A$ - нуль-модуль. В алгебре величины, для которых существует целое положительное число $n$ и выполняется равенство $$ A^n=A $$ называются идемпотентами.
Рассмотрим одномерный вариант и найдем для него соответствующий для него идемпотент: $$ A=x+Iix $$ $$ A^2=(x+Iix)(x+Iix) $$ $$ A^2=2x^2+Ii2x^2 $$ Соответственно, чтобы число $A$ было идемпотентом, должно выполняться условие, налагаемое на $x$: $$ 2x^2=x $$ Следовательно, $$ x=1/2 $$ Соответственно, число $$ 1/2+Ii/2 $$ является идемпотентом при $n$ начиная с 2 и больше: $$ (1/2+Ii/2)^n=1/2+Ii/2 $$ Если нуль-модуль $$ x+Iix $$ представлять как произведение действительного числа на идемпотент, то такое действительное число $n$ выполняет роль собственной величины нуль-модуля: $$ x+Iix = 2x(1/2+Ii/2) $$ Соответственно, произведение двух нуль-модулей в определенном смысле аналогично произведению двух действительных чисел: $$ (a+Iia)(b+Iib)= $$ $$ =2a(1/2+Ii/2)2b(1/2+Ii/2)= $$ $$ =4ab(1/2+Ii/2) $$ И, если собственные величины нуль-модулей были равны соответственно $2a$ и $2b$, то собственная величина их произведения равна $4ab$. Не нужно путать собственную величину и модуль - модули и у первого и у второго числа и у их произведения равны 0.
Пытливый ум уже, конечно, обратил внимание на то, что изложение о свойствах идемпотентов велось для случая $n=2$: $$ A^2=A $$ Да, можно использовать и другие степени. Посмотрим, к чему они приводят и как выглядят идемпотенты других степеней. Например, для степени 3: $$ (x+Iix)^3=4x^3(1+Ii) $$ Следовательно, для степени 3 идемпотентом будут являться числа $$ 4x^3=x $$ $$ x=\sqrt{1/4}=1/2 $$ Продолжая для других степеней, получим для произвольной положительной целой степени $n$: $$ (x+Iix)^n=2^{n-1}x^n(1+Ii) $$ Решая уравнение $$ 2^{n-1}x^n=x $$ получим $$ x=1/2 $$ Таким образом, в алгебре бикватернионов идемпотенты произвольной степени $n$ совпадают с идемпотентами степени 2.
Движение света. Оглавление.
Комментариев нет:
Отправить комментарий