Ускорение и сила, оглавление
В лагранжевом формализме, так же, как обобщенные координаты и обобщенные
импулься, присутствуют и обобщенные силы. Как они соотносятся с уравнением
динамики для теории относительности, попробуем разобраться.
Составим уравнение динамики:
$$
m(a/c-2\omega)=\partial (P-m_GA_G+qA)
$$
и уравнение обобщенных сил из лагранжева формализма:
$$
Q_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}
$$
$$
L=T-V
$$
Здесь $T$ - кинетическая и $V$ - потенциальная энергии, $L$ - функция Лагранжа.
Если под силой понимать выражение $ma$, под кинетической составляющей энергетики
понимать $P$ и под потенциальной составляющей понимать полевые члены
$$
-m_GA_G+qA
$$
то неокторое сопоставление может получиться, если перенести скорость света из
левой части в правую:
$$
\begin{array}{l}
T=cP \\
V=cm_GA_G-cqA
\end{array}
$$
В случае когда наблюдатель движется относительно наблюдаемого объекта с
быстротой $\psi$, его импульс наблюдается как (скалярная составляющая):
$$
P_0=mc\mathrm{ch}(\psi)
$$
Соответственно, кинетическая энергия
$$
T=mc^2\mathrm{ch}(\psi)
$$
И в случае когда наблюдатель движется синхронно с объектом
$$
T=mc^2
$$
Отличие кинетической энергии от этого начального её состояния и воспринимается в
классической механике как
$$
mc^2\mathrm{ch}(\psi)-mc^2\approx mc^2\frac{\psi^2}{2}=
mc^2\frac{v^2/c^2}{2}=m\frac{v^2}{2}
$$
при малых значениях $\psi$.
Сопоставление с более привычными как обобщенными силами имеет следствием не
только формулу с $mc^2$, но и еще два.
Первое - это способ отвечать на вопрос "как изменяется кинетическая энергия при
добавлении скорости" правильно. Первым же ответом может быть, например, такой:
если скорость добавилась на $\Delta V$, то кинетическая энергия добавилась на
$$
m\frac{\Delta V}{2}
$$
Если подумать, то эрудиты найдут подковырку в самом выпросе и скажут что надо
учитывать какой был начальный вариант скорости, или каков был импульс. Если
полумать еще, то можно найти подковырку и с направлением добавления скорости
относительно импульса, сонаправленно или в сторону.
Чтобы не выискивать и не гадать какие же еше подковырки могут быть, нужно взять
исходный 4-вектор импульса, применить к нему преобразование Лоренца с быстротой
соответствующей изменению скоростии посмотреть чему стало равно то, что стоит в
скалярной части получившегося 4-вектора.
Такой способ учитывает полностью все подковырки включая вращение Вигнера.
И второе следствие сопоставления с обобщенными силами состоит в обращении
внимания на то, что в уравнении динамики слева нет скалярной части. Это
означает, что в обобщенных силах нет силы, соответствующей обобщенной координате
времени. И, соответственно, время не является для лагранжева формализма
обобщенной координатой. И речь не о том времени $t$, которое фигурирует в
уравнениях Лагранжа, а о компоненте 4-мерного вектора $ct$.
Соответственно, если оставаться в рамках принципа относительности Пуанкаре и
принципа Пуанкаре о равном характере преобразования сил различной природы,
машина времени невозможна.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий