Ускорение и сила Лоренца

Ускорение и сила, оглавление

Мы привыкли к тому, что если есть ускорение, вызываемое напряженностью электрического поля, то при движении ускорение корректируется силой Лоренца если присутствует магнитное поле. На самом деле это не полная формулировка и ускорение зависит от еще одного фактора. Попробуем разобраться.

Рассмотрим исходное уравнение воздействия напряженности электромагнитного поля: $$ m{\bf a}=q{\bf E} $$ При движении в магнитном поле мы обычно дописываем силу Лоренца $$ m{\bf a}=q({\bf E}+[{\bf v}/c,{\bf B}]) $$ Это формула для малых скоростей.

Довесок со скоростью возникает из-за того, что величины $\bf{E}$ и $\bf{B}$ в действительности образуют единый 6-ти мерный бивектор $$ \partial A={\bf E}/c+{\bf B}/c $$ И при преобразованиях Лоренца к величинам $\bf{E}$ и $\bf{B}$ добавляются корректировки из-за преобразования $A$ как композиционной величины.

Если вектор $X$ преобразуется как $$ X\rightarrow e^{\psi/2}Xe^{\bar{\psi}^*/2} $$ то векторный потенциал преобразуется точно также $$ A\rightarrow e^{\psi/2}Ae^{\bar{\psi}^*/2} $$ И оператор дифференцирования $\partial$ преобразуется как сопряженный вектор: $$ \partial\rightarrow e^{\psi/2^*}\partial e^{\bar{\psi}^/2} $$ Соответственно, бивектор напряженностей электромагнитного поля преобразуется как: $$ \partial A\rightarrow e^{\psi/2^*}\partial Ae^{\bar{\psi}^*/2} $$ Но собственно нюанс с ускорением состоит в том, что и левая часть уравнения динамики преобразуется точно также: $$ m(a/c-2\omega) \rightarrow e^{\psi/2^*}m(a/c-2\omega)e^{\bar{\psi}^*/2} $$ И если вначале мы видим ускорение, т ов результате такого преобразования в левой части должен быть довесок из-за угловой скорости $\omega$, входящей в полный бивектор ускорения, поскольку оно преобразуется также как композиционная величина.

Если продолжить аналогию с малыми скоростями в приблизительной оценке силы Лоренца, то $$ ma/c\rightarrow m(a/c-2[{\bf v}/c,\omega]) $$ Это явление, парное к прецессии Томаса. Если прецессия Томаса есть возникновение угловой скорости при наложении ускорения на скорость при их неколлинеарности, то в данном случае явление обратно, возникновение коррекции ускорения при наложении скорости на ускорение.

И, соответственно, в силу того что ускорение образует полный бивектор из линейного ускорения и угловой скорости $$ a/c-3\omega $$ то при преобразованиях Лоренца угловая скорость также получает коррекцию: $$ -2\omega\rightarrow -2\omega-[{\bf v}/c,a/c] $$ или $$ \omega\rightarrow \omega+[{\bf v}/c,a/c]/2 $$ Таким образом грубая оценка прецессии Томаса при малых скоростях составляет $$ \frac{1}{2}\left[\frac{\bf v}{c},\frac{\omega}{c}\right] $$ Для полного выражения достаточно раскрыть преобразование полного ускорения $$ a/c-2\omega \rightarrow e^{\psi/2^*}(a/c-2\omega)e^{\bar{\psi}^*/2} $$ Разумеется, здесь в значение $\psi$ внесено полное представление параметров 6-ти параметрической группы преобразований Лоренца как бивектора быстроты и угла поворота.

И, если не граничиваться эрудицией, а попытаться ответить на вопрос чему равно ускорение при движении в электромагнитном поле, то ответ будет зависеть и от величин $\bf{E}$, $\bf{B}$ и от скорости движения $\bf{v}$ и от угловой скорости вращения тела (частицы). И знаниче как преобразуется полный бивектор и композиционные величины позволяет найти и полную формулу итогового ускорения.

Нужно отметить, что прецессия Томаса и сила Лоренца никак не связаны между собой и есть величины независимые друг от друга, но обе проявляются при наличии движения и математически описываются как следствия преобразований Лоренца. В эксперименте обе эти величины проявляются, соответственно, одновременно.

Ускорение и сила, оглавление