Уравнение динамики в компонентах

Ускорение и сила, оглавление

Выведенное ранее урвнение динамики записывалось для удобства в гиперкомплексных величинах. В них естественным образом входят и скаляры, и псевдоскаляры, и векторы и псевдовекторы, и даже бивекторы. Но если человек привык к векторно-тензорному формализму, как ему расшифровать такую запись в обычные для него скалярные и векторные величины? Попробуем разобраться.

Начнем с самого начала, с единиц кватернионов. Кватернионы образуются базисными единицами 1, $i$, $j$, $k$, при которых компоненты этого кватерниона (компоненты умножаются на базисные единицы), и их сумма образует сам кватернион: $$ a=a_0+ia_1+ja_2+ka_3 $$ Единицы $i$, $j$, $k$ некоммутативны по умножению между собой: $$ ij=-ji $$ и при возведении в квадрат дают -1 (кватернионная -1, а не действительная): $$ i^2=j^2=k^2=-1 $$ Здесь использовано правило опускания при записи нулевых компонент. В действительности, конечно, произведение $ii$ есть произведение кватерниона на кватернион и в результате дает также кватернион, а не действительное число: $$ (0+i+j0+k0)(0+i+j0+k0)=(-1+i0+j0+k0) $$ Кватернионы и действительные числа есть величины разных алгебр, и произведение величин одной из них никак не может дать величину из другой. Но в сокращенном варианте при опускании нулевых компонент запись может выглядеть обманчиво и создавать иллюзию что есть величины которые в квадрате дают отрицательное действительное число.

Составные части кватернионов, следуя их изобретателю Гамильтону, называют скалярной и векторной частями соответственно: $$ a=a_0+{\bf a} $$ Где векторная часть равна: $$ {\bf a} = ia_1+ja_2+ka_3 $$ Произведение двух кватернионов, соответственно, дает такой результат: $$ \begin{array}{c} ab=(a_0+{\bf a})(b_0+{\bf b})= \\ a_0b_0+a_0{\bf b}+{\bf a}b_0-({\bf a},{\bf b})+[{\bf a},{\bf b}] \end{array} $$ Здесь $({\bf a},{\bf b})$ - скалярное и $[{\bf a},{\bf b}]$ - векторное произведения векторов 3-мерного декартова пространства, как если бы компонентами этих векторов были компоненты кватернионов.

Следующий шаг - переход к бикватернионам, которые разделяют на бикватернионы Гамильтона с новой мнимой единицей $I^2=-1$ и бикватернионы Клиффорда с новой мнимой единицей $\omega^2=0$. Нам нужны бикватернионы Гамильтона: $$ q = q_0+Iiq_1+Ijq_2+Ikq_3+Iq_4+iq_5+jq_6+kq_7 $$ Формально говоря, произведения $Ii$, $Ij$ и $Ik$ с точки зрения алгебры образуют новые мнимые единицы. Но поскольку это всего лишь замена обозначений и оперировать единицами намного проще если явно видно как они образованы, то оставим такой вариант.

Векторам пространства-времени соответствует не весь бикватернион целиком, а только половина: $$ q = q_0+Iiq_1+Ijq_2+Ikq_3 $$ При преобразованиях Лоренца эти величины и преобразуются как 4-мерные векторы пространства-времени. Квадрат модуля такого вектора: $$ |x|^2=x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2 $$ Если разобраться в вопросе как выглядит так называемый "квадрат модуля" на самом деле, то окажется что это полином 8-й степени, но упрощаемый до 4-й степени приведенного полинома второй степени. И в том, что касается правила квадрата модуля произведения как произведения квадратов модулей, то оно сохраняется, и мы этих старщих степеней нигде не замечаем. В обычных задачах теории относительности такой формы второй степени вполне достаточно.

Отброшенная часть бикватерниона, в виде $$ Iq_4+iq_5+jq_6+kq_7 $$ также может быть представлена в виде 4-мерного вектора если умножить на псевдоскалярную единицу $I$: $$ -x_4+Iix_5+Ijx_6+Ikx_7 $$ При произведении двух таких 4-векторов нужно учитывать присутствие мнимой единицы $I$, которая в квадрате $I^2=-1$: $$ \begin{array}{c} xy=(x_0+I{\bf x})(y_0+I{\bf y})= \\ = x_0y_0+Ix_0{\bf y}+Iy_0{\bf x}+({\bf x},{\bf y})-[{\bf x},{\bf y}] \end{array} $$ В отличие от произведения кватернионов здеь скалярное и векторное произведения входят в результат с обратными знаками именно из-за того, что $I^2=-1$.

Теперь рассмотрим, как представляются в гиперкомплексном и векторном виде участвующие в уравнении динамики величины. Ускорение: $$ \begin{array}{c} a/c-2\omega=Iia_x/c+Ija_y/c+Ika_z/c- \\ - 2i\omega_x-2j\omega_y - 2k\omega_z \end{array} $$ Если кого-то сбивало с толку складывание линейного ускорения и угловой скорости, то в этом нет ничего необычного на самом деле, они складываются так же, как складываются действительные и мнимые компоненты в комплексных числах. И образуют при этом бивектор, преобразуемый при преобразованиях Лоренца как единый объект. Отметим, что в действительности мы должны приписывать ускорению нулвую скалярную и псевдоскалярную компоненты, поскольку влева и справа в уравнении динамики стоят полные бикватернионы.

Оператор дифференцирования в гиперкомплексном выражении представляется в компонентах как: $$ \partial=\frac{\partial}{c\partial t}+Ii\frac{\partial}{\partial x}+ Ij\frac{\partial}{\partial y}+Ik\frac{\partial}{\partial z} $$ Поскольку других компонент у нашего пространства нет мы можем дополнять этот бикватернион неявными нулями при остальных мнимых единицах.

4-вектор импульса представляется как: $$ P=P_0+IiP_x+IjP_y+IkP_z $$ 4-вектор векторного потенциала представляется в компонентах аналогично: $$ \begin{array}{c} A=A_0+IiA_x+IjA_y+IjA_z \\ A_G=A_{G0}+IiA_{Gx}+IjA_{Gy}+IjA_{Gz} \end{array} $$ Применим оператор дифференцирования к импульсу и раскроем произведение гиперкомплексных величин: $$ \partial P=\left(\frac{\partial}{c\partial t}\right)\left(P_0+{\bf P}\right)= $$ $$ =\frac{\partial}{c\partial t}P_0+\frac{\partial}{c\partial t}{\bf P}+ I\nabla P_0+(\nabla,{\bf P})-[\nabla,{\bf P}] $$ Здесь к векторным уже известным конструкциям относятся: $$ I\nabla P_0=\mathrm{grad} P_0 $$ $$ (\nabla,{\bf P})=\mathrm{div}{\bf P} $$ $$ [\nabla,{\bf P}]=\mathrm{rot}{\bf P} $$ Если рассматривать уравнение динамики в отсутствии поля, то $$ m(a/c-2\omega)=\partial P $$ При сопоставлении компонент при одинаковых мнимых единицах получаем для скалярной компоненты $$ 0=\frac{\partial P_0}{c\partial t}+\mathrm{div}{\bf P} $$ Псевдоскалярная часть при $I$ с обеих сторон равна 0.

Полярная часть слева представлена линейным ускорением умноженным на константы: $$ ma/c=\frac{\partial}{c\partial t}I{\bf P}+\mathrm{grad}P_0 $$ Если энергетика $P_0$ не зависит от пространственных координат (нерелятивистский случай), то приходим к обычному уравнению Ньютона $$ ma=\frac{\partial}{\partial t}I{\bf P} $$ В отличие от динамики Ньютона, в теории относительности используется неполная, а частная производная по времени.

И, наконец, аксиальная составляющая ускорения приводит к равенству: $$ m(-2\omega)=-\mathrm{rot}{\bf P} $$ Это уравнение также известно в нерелятивистской кинематике.

Раскроем в компонентах произведение оператора дифференцирования на векторный потенциал: $$ \partial A=\left(\frac{\partial}{c\partial t}+I\nabla\right)\left(\varphi+ I\bf{A}\right) = $$ $$ =\frac{\partial}{c\partial t}\varphi+\frac{\partial}{c\partial t}I{\bf A}+ I\nabla\varphi+(\nabla,\bf{A})-[\nabla,\bf{A}] $$ В скалярную часть входят: $$ 0=\frac{\partial}{c\partial t}\varphi+\mathrm{div}{\bf A} $$ Псевдоскалярная часть отсутствует, то есть представлена и слева и справа нулями.

В полярную часть входят: $$ ma/c=q\left(\frac{\partial}{c\partial t}I{\bf A}+I\nabla\varphi\right)= q{\bf E}/c $$ Из этого уравнения следует сила кулоновского типа и она же сила Лоренца, поскольку при преобразованиях Лоренца напряженности электромагнитного поля, электрического и магнитного, преобразуются как единый бивектор.

И в аксиальную часть входят: $$ m(-2\omega)=-q\mathrm{rot}{\bf A}=-q{\bf B}/c $$ Из этого уравнения следует уравнение прецессии Лармора: $$ \omega=\frac{q}{2mc}{\bf B} $$ Зная, что напряженности электромагнитного поля преобразуются как единый бивектор, можем заранее сказать, что частота прецессии Лармора будет зависеть от скорости движения частицы в электрическом поле, в некотором смысле аналогично тому как сила Лоренца зависит от скорости движения в магнитном поле, но соответственно преобразованию напряженности магнитного поля.

Аналогично раскрывается уравнение и для гравитационного векторного потенциала, но с предположением совпадения масс $m=m_G$.

В правой части уравнения динамики оператор дифференцирования действует на векторный потенциал гравитационного поля совершенно аналогично векторному потенциалу электромагнитного поля: $$ m(a/c-2\omega)=\partial(-m_GA_G) $$ В скалярную часть входят 4-дивергенция векторного потенциала $$ 0=-m_G\frac{\partial}{c\partial t}A_{G0}-m_G\mathrm{div}{\bf A}_{G} $$ Если рассматривать это уравнение независимо от кинематической части импульса и от электромагнитной, то оно приводит к независимому уравнению сохранения (или неразрывности) гравитационной массы. Но возможно ли такое рассмотрение - пока экспериментом не подтверждено. А именно, экспериментально пока не наблюдалось у теля лишь наличие гравитационной массы без инертной.

В псевдоскалярную часть уравнения динамики гравитационный векторный потенциал ничего не вносит.

В полярную часть входит аналог электромагнитного поля: $$ ma/c=-m_G\frac{\partial}{c\partial}\bf{A}_G-m_G\nabla A_{G0} $$ Здесь в правой части последний член также может быть заменен на градиент скалярной части векторного потенциала: $$ m_G\nabla A_{G0}=m_G\mathrm{grad}A_{G0} $$ Это выражение в классической физике означает силу вызываемую потенциальным полем, где потенциал описывается величиной $A_{G0}$.

Поскольку известно как преобразуются 4-векторы при преобразованиях Лоренца, можем утверждать что при движении объекта недалеко от вращающегося массивного тела должна возникать поправка к силе взаимодействия аналогичная силе Лоренца.

И наконец в аксиальную часть входит ротор векторного потенциала гравитационного поля. А именно, если $$ \partial A_G={\bf E}_G/c-{\bf B}_G/c $$ то в аксиальную часть входит только напряженность гравитационного поля: $$ m(-2\omega)=-m_G(-{\bf B}_G/c) $$ И в предположении равенства инертной и гравитационной масс это уравнение сокращается до: $$ \omega = \frac{{\bf B}_G}{2c} $$ Что соответствует эффекту Лензе-Тирринга. Зная, как преобразуются напряженности при преобразовниях Лоренца, можем утверждать, что угловая частота в этом эффекте будет получать коррекцию при движении в гравитационном поле, аналогично коррекции частоты прецессии Лармора.

В уравнении динамики оператор дифференцирования воздействует на полный импульс: $$ P-m_GA_G+qA $$ И, рассуждая логически, мы получаем в скалярной составляющей уравнения динамики уравнение непрерывности также для полного импульса. Пока мы не наблюдали отдельно у частиц массу отделенную от гравитационной массы и от электрического заряда. Возможность разделения уравнения сохранения (неразрывности) на отдельные уравнения сохранения масс и заряда вызвано, видимо, уверенностью в возможности существования одинаковых электрических зарядов у разных масс и наоборот, разных зарядов у одинаковых масс. Но при разделении инертной и гравитационной масс пока такой уверенности нет. И, вообще говоря, в преобразовании гравитационного поля уравнения сохранения масс должно учитывать его наличие.

Ускорение и сила, оглавление