О преобразованиях в сплит-октавах

Если в бикватернионах существует группа преобразований Лоренца в 3-мерном варианте, а в кокватернионах - в 2-мерном, то возникает любопытство, существует ли такая же группа преобразований в сплит-октавах? Попробуем разобраться, какая существует, а какая нет.

Для этого сплит-октаву $x$ в виде $$x=x_0+Iix_1+Ijx_2+kx_3+e_4x_4+Ie_5x_5+Ie_6x_6+e_8x_7$$ с определенным ранее правилом произведений единиц

https://thedarkaugust.blogspot.com/2023/08/blog-post_16.html

умножим на сплит-октаву и раскроем это произведение покомпонентно: $$z=xy$$ Сгруппировав суммы покомпонентно, получим 8 уравнений, формирующих произведение сплит-октав: $$\begin{array}{c} z_0=x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4+x_5y_5+x_6y_6-x_7y_7 \\ z_1=x_0y_1+x_1y_0+x_2y_3-x_3y_2+x_4y_5-x_5y_4-x_6y_7+x_7y_6 \\ z_2=x_0y_2-x_1y_3+x_2y_0+x_3y_1+x_4y_6+x_5y_7-x_6y_4-x_7y_5 \\ z_3=x_0y_3-x_1y_2+x_2y_1+x_3y_0+x_4y_7+x_5y_6-x_6y_5-x_7y_4 \\ z_4=x_0y_4+x_1y_5+x_2y_6-x_3y_7+x_4y_0-x_5y_1-x_6y_2+x_7y_3 \\ z_5=x_0y_5+x_1y_4-x_2y_7+x_3y_6-x_4y_1+x_5y_0-x_6y_3+x_7y_2 \\ z_6=x_0y_6+x_1y_7+x_2y_4-x_3y_5-x_4y_2+x_5y_3+x_6y_0-x_7y_1 \\ z_7=x_0y_7+x_1y_6-x_2y_5+x_3y_4-x_4y_3+x_5y_2-x_6y_1+x_7y_0 \end{array}$$ ПОсле чего используем систему компьютерной алгебры Maxima и дадим в ней определение произведения и сопряжений для сплит-октав.

Сплит-октаву будем моделировать вектор-строкой. Поскольку это матрица, то сложения, вычитания и упрощения выражений Maxima уже умеет к ним применять и остается дописать операции, специфичные для сплит-октав.

spoct(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7):=matrix([x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]);
p(m,i):=m[1,i+1];
conj(x):=matrix([p(x,0),-p(x,1),-p(x,2),-p(x,3),
  -p(x,4),-p(x,5),-p(x,6),-p(x,7)]);
conjscl(x):=matrix([p(x,0),-p(x,1),-p(x,2),p(x,3),
  p(x,4),-p(x,5),-p(x,6),p(x,7)]);
mult(x,y):=matrix([
p(x,0)*p(y,0)+p(x,1)*p(y,1)+p(x,2)*p(y,2)-p(x,3)*p(y,3)-
  p(x,4)*p(y,4)+p(x,5)*p(y,5)+p(x,6)*p(y,6)-p(x,7)*p(y,7),
p(x,0)*p(y,1)+p(x,1)*p(y,0)+p(x,2)*p(y,3)-p(x,3)*p(y,2)+
  p(x,4)*p(y,5)-p(x,5)*p(y,4)-p(x,6)*p(y,7)+p(x,7)*p(y,6),
p(x,0)*p(y,2)-p(x,1)*p(y,3)+p(x,2)*p(y,0)+p(x,3)*p(y,1)+
  p(x,4)*p(y,6)+p(x,5)*p(y,7)-p(x,6)*p(y,4)-p(x,7)*p(y,5),
p(x,0)*p(y,3)-p(x,1)*p(y,2)+p(x,2)*p(y,1)+p(x,3)*p(y,0)+
  p(x,4)*p(y,7)+p(x,5)*p(y,6)-p(x,6)*p(y,5)-p(x,7)*p(y,4),
p(x,0)*p(y,4)+p(x,1)*p(y,5)+p(x,2)*p(y,6)-p(x,3)*p(y,7)+
  p(x,4)*p(y,0)-p(x,5)*p(y,1)-p(x,6)*p(y,2)+p(x,7)*p(y,3),
p(x,0)*p(y,5)+p(x,1)*p(y,4)-p(x,2)*p(y,7)+p(x,3)*p(y,6)-
  p(x,4)*p(y,1)+p(x,5)*p(y,0)-p(x,6)*p(y,3)+p(x,7)*p(y,2),
p(x,0)*p(y,6)+p(x,1)*p(y,7)+p(x,2)*p(y,4)-p(x,3)*p(y,5)-
  p(x,4)*p(y,2)+p(x,5)*p(y,3)+p(x,6)*p(y,0)-p(x,7)*p(y,1),
p(x,0)*p(y,7)+p(x,1)*p(y,6)-p(x,2)*p(y,5)+p(x,3)*p(y,4)-
  p(x,4)*p(y,3)+p(x,5)*p(y,2)-p(x,6)*p(y,1)+p(x,7)*p(y,0)
    ]);

Также зададим тестовые данные

a:spoct(a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7);
b:spoct(b0,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7);

И для сплит-октав зададим сопряженные скалярное, векторное и скалярно=векторное:

s:conjscl(a);
v:conj(a);
l:conj(s);

Для проверки тождественности выраженийзададим вычислить разность для них и зададим провести упрощение выражений. Если два исходных выражения, проверяемые на тождественность, дадут ноль независимо от значений $a$ и $b$, то да, они тождественны.

Зададим проверку условий альтернативности для сплит-октав:

/* (aa)b = a(ab) */
v1:rat(mult(mult(a,a),b)-mult(a,mult(a,b)));
/* (ab)a = a(ba) */
v2:rat(mult(mult(a,b),a)-mult(a,mult(b,a)));
/* (ba)a = b(aa) */
v3:rat(mult(mult(b,a),a)-mult(b,mult(a,a)));

Да, прямая проверка подтверждает, что плит-октавы образуют альтернативную алгебру.

Зададим проверку на равенство для выражений, содержащих справа сопряженную сплит-октаву:

/* (ab)s =/= a(bs) */
v4:rat(mult(mult(a,b),s)-mult(a,mult(b,s)));
/* (ab)v = a(bv) */
v5:rat(mult(mult(a,b),v)-mult(a,mult(b,v)));
/* (ab)l =/= a(bl) */
v6:rat(mult(mult(a,b),l)-mult(a,mult(b,l)));

Прямая проверка подтверждает, что для векторного (и, соответственно, алгебраического тоже) сопряжения это равенство выполоняется. Но вот для скалярного и скалярно-векторного сопряжения - нет. Для нас важным является уравнение $$(ab)\bar{a}^*\neq a(b\bar{a}^*)$$ Поскольку мы зависим от порядка скобок, мы не можем к результату преобразования величины $b$ полуоператором $a$ применить еще одно преобразование полуоператором $c$: $$a\rightarrow ca$$ с тем, чтобы считать, что это эквивалентно преобразованию величины $b$ полуоператорами $ca$.

Но, если оставаться в рамках лишь преобразования с алгебраическим (совпадающим с векторным в сплит-октавах) сопряжением, то можем, поскольку $$(ab)\bar{a}=a(b\bar{a})$$ И в этом случае мы можем применить к результату полуоператор с тем, чтобы итог мог быть эквивалентен преобразованию величины $b$ полуоператором $$ca$$ Из таких рассуждений следует вывод, что в пространстве сплит-октав преобразования Лоренца не могут образовывать группу, но композиционные преобразования образуют группу.

Если рассматривать полуоператоры как применяемые к гиперкомплексным спинорам, то в сплит-октавах из спиноров нельзя образовать векторные величины, но можно образовать композиционные величины. Следствием таких рассуждений может быть формальный принцип запрета на существование макро-объектов с векторными характеристиками, для которых требуется применение преобразований Лоренца, но при этом отсутствие такого запрета на квантовые объекты, для которых преобразования Лоренца не требуются. По всей видимости, этот запрет и объясняет отсутствие наблюдаемых неассоциативных физических законов

https://thedarkaugust.blogspot.com/2019/10/blog-post.html

Проверяемые тождества $$\begin{array}{c} (aa)b=a(ab) \\ (ab)a=a(ba) \\ (ba)a=b(aa) \end{array}$$ Называются тождествами Муфанг и выполняются для неассоциативных, но альтернативных алгебр.

В силу специфики векторного сопряжения как в сплит-октавах, так и в биоктавах, несложно показать, что и в биоктавах выполняется соотношение $$(ab)\bar{a}=a(b\bar{a})$$ Но не выполняются, если используется скалярное или скалярно-векторное сопряжение. То есть рассуждения этого поста применимы как к сплит-октавам, так и к биоктавам.

В некотором смысле пространство биоктав включает в себя пространство бикватернионов, добавляя дополнительные координаты. При этом в бикватернионах есть и группа преобразований Лоренца и композиционных преобразований, но в пространстве биоктав есть лишь группа композиционных преобразований, а преобразования Лоренца не образуют группу. В философском смысле такое пространство биоктав может оказаться прекрасным кандидатом на модель мулььтиверса, где существуют квантовые объекты и эффекты, но не существуют макрообъекты и макроэффекты. Возможно, именно это пространство может объяснить работу квантовых компьютеров.