Сопряжения кокватернионов

Какие есть виды сопряжений в алгебре кокватернионов и каковы их свойства? Попробуем разобраться.

Идно из представлений кокватернионов может быть дано через общеизвестные кватернионные мнимые единицы: $$x = x_0+Ijx_1+Ijx_2+kx_3$$ Здесь $i$, $j$, $k$ - кватернионные единицы $$i^2=j^2=k^2=-1$$ $$ij=-ji=k$$ И единица $I^2=-1$ коммутирует с остальными по умножению: $$Ij=jI$$ $$Ii=iI$$ В кокватернионах нет единиц $Ik$ или $i$ или $j$ или $I$ по отдельности, поскольку их нельзя получить из единиц $Ij$, $Ij$ и $k$ путем умножения или сложения.

К важному и общеизвестному сопряжению для алгебры кокватернионов относится алгебраическое сопряжение. Для кокватернионов оно, также как и для кватернионов, линейно: $$\bar{x}=x_0-Ijx_1-Ijx_2-kx_3$$ И также, как для кватернионов, может быть определена величина $$x\bar{x}=\bar{x}x=x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2$$ Такая величина для кокватернионов аналогична квадрату модуля для кватернионов в том смысле, что если есть произведение кокватернионов $$ab=c$$ то для их "квадратов модулей" также верно, что $$a\bar{a}b\bar{b}=c\bar{c}=ab(\overline{ab})$$ Для алгебраического сопряжения, также как для кватернионов, алгебраическое сопряжения произведения переставляет местами аргументы: $$\overline{ab}=\bar{b}\bar{a}$$ Второе сопряжение, присутствующее в алгебре кокватернионов - векторное. Векторное сопряжение образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах, в образовании которых участвуют единицы с некоммутативным умножением. В кокватернионах это, также как и в кватернионах, все три единицы: $$\widetilde{x}=x_0-Iix_1-Ijx_2-kx_3$$ Также, как и в кватернионах, в кокватернионах векторное и алгебраическое сопряжения совпадают по результату, хотя происходят по совершенно разным причинам. Векторное сопряжение в кокватернионах имеет те же свойства что и алгебраическое.

И третье сопряжение, присутствующее в алгебре кокватернионов - скалярное. Скалярное сопряжение образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах, в образовании которых участвует единица $I$, умножающаяся коммутативно: $$x^* = x_0-Iix_1-Ijx_2+kx_3$$ Если алгебраическое и векторное сопряжения перестановочны при сопряжении произведения, то скалярное нет: $$(ab)^*=a^*b^*$$ Поскольку для кокватернионов алгебраическое и векторное сопряжения совпадают, то если оставаться в рамках алгебры кокватернионов, то их можно заменять друг на друга: $$\widetilde{x}=\bar{x}$$ И, поскольку векторное и скалярное сопряжения независимы, можно использовать их одновременно: $$\bar{x}^*=x_0+Iix_1+Ijx_2-kx_3$$ Поскольку в такое составное сопряжение один рах входит векторное, то оно также перестановочно: $$(\overline{ab})^*=\bar{b}^*\bar{a}^*$$ Все три сопряжения, очевидно, при повторном применении возвращают исходный кокватернион. $$\bar{\bar{x}}=x$$ $$x^{**}=x$$ И, что немаловажно, условный квадрат модуля сопряженных равен той же величине исходного кокватерниона: $$|\bar{x}|^2=|x^*|^2=|x|^2$$