Сопряжения кокватернионов

Какие есть виды сопряжений в алгебре кокватернионов и каковы их свойства? Попробуем разобраться.

Идно из представлений кокватернионов может быть дано через общеизвестные кватернионные мнимые единицы: $$ x = x_0+Ijx_1+Ijx_2+kx_3 $$ Здесь $i$, $j$, $k$ - кватернионные единицы $$ i^2=j^2=k^2=-1 $$ $$ ij=-ji=k $$ И единица $I^2=-1$ коммутирует с остальными по умножению: $$ Ij=jI $$ $$ Ii=iI $$ В кокватернионах нет единиц $Ik$ или $i$ или $j$ или $I$ по отдельности, поскольку их нельзя получить из единиц $Ij$, $Ij$ и $k$ путем умножения или сложения.

К важному и общеизвестному сопряжению для алгебры кокватернионов относится алгебраическое сопряжение. Для кокватернионов оно, также как и для кватернионов, линейно: $$ \bar{x}=x_0-Ijx_1-Ijx_2-kx_3 $$ И также, как для кватернионов, может быть определена величина $$ x\bar{x}=\bar{x}x=x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2 $$ Такая величина для кокватернионов аналогична квадрату модуля для кватернионов в том смысле, что если есть произведение кокватернионов $$ ab=c $$ то для их "квадратов модулей" также верно, что $$ a\bar{a}b\bar{b}=c\bar{c}=ab(\overline{ab}) $$ Для алгебраического сопряжения, также как для кватернионов, алгебраическое сопряжения произведения переставляет местами аргументы: $$ \overline{ab}=\bar{b}\bar{a} $$ Второе сопряжение, присутствующее в алгебре кокватернионов - векторное. Векторное сопряжение образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах, в образовании которых участвуют единицы с некоммутативным умножением. В кокватернионах это, также как и в кватернионах, все три единицы: $$ \widetilde{x}=x_0-Iix_1-Ijx_2-kx_3 $$ Также, как и в кватернионах, в кокватернионах векторное и алгебраическое сопряжения совпадают по результату, хотя происходят по совершенно разным причинам. Векторное сопряжение в кокватернионах имеет те же свойства что и алгебраическое.

И третье сопряжение, присутствующее в алгебре кокватернионов - скалярное. Скалярное сопряжение образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах, в образовании которых участвует единица $I$, умножающаяся коммутативно: $$ x^* = x_0-Iix_1-Ijx_2+kx_3 $$ Если алгебраическое и векторное сопряжения перестановочны при сопряжении произведения, то скалярное нет: $$ (ab)^*=a^*b^* $$ Поскольку для кокватернионов алгебраическое и векторное сопряжения совпадают, то если оставаться в рамках алгебры кокватернионов, то их можно заменять друг на друга: $$ \widetilde{x}=\bar{x} $$ И, поскольку векторное и скалярное сопряжения независимы, можно использовать их одновременно: $$ \bar{x}^*=x_0+Iix_1+Ijx_2-kx_3 $$ Поскольку в такое составное сопряжение один рах входит векторное, то оно также перестановочно: $$ (\overline{ab})^*=\bar{b}^*\bar{a}^* $$ Все три сопряжения, очевидно, при повторном применении возвращают исходный кокватернион. $$ \bar{\bar{x}}=x $$ $$ x^{**}=x $$ И, что немаловажно, условный квадрат модуля сопряженных равен той же величине исходного кокватерниона: $$ |\bar{x}|^2=|x^*|^2=|x|^2 $$