The Dark August: Сопряжения кокватернионов

Какие есть виды сопряжений в алгебре кокватернионов и каковы их свойства? Попробуем разобраться.

Идно из представлений кокватернионов может быть дано через общеизвестные кватернионные мнимые единицы:

x = x_{0} + I j x_{1} + I j x_{2} + k x_{3}

$x = x_0+Ijx_1+Ijx_2+kx_3$ Здесь

i

$i$ ,

j

$j$ ,

k

$k$ - кватернионные единицы

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1

$i^2=j^2=k^2=-1$

i j = - j i = k

$ij=-ji=k$ И единица

I^{2} = - 1

$I^2=-1$ коммутирует с остальными по умножению:

I j = j I

$Ij=jI$

I i = i I

$Ii=iI$ В кокватернионах нет единиц

I k

$Ik$ или

i

$i$ или

j

$j$ или

I

$I$ по отдельности, поскольку их нельзя получить из единиц

I j

$Ij$ ,

I j

$Ij$ и

k

$k$ путем умножения или сложения.

К важному и общеизвестному сопряжению для алгебры кокватернионов относится алгебраическое сопряжение. Для кокватернионов оно, также как и для кватернионов, линейно:

¯ x = x_{0} - I j x_{1} - I j x_{2} - k x_{3}

$\bar{x}=x_0-Ijx_1-Ijx_2-kx_3$ И также, как для кватернионов, может быть определена величина

x ¯ x = ¯ x x = x_{0}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + x_{3}^{2}

$x\bar{x}=\bar{x}x=x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2$ Такая величина для кокватернионов аналогична квадрату модуля для кватернионов в том смысле, что если есть произведение кокватернионов

a b = c

$ab=c$ то для их "квадратов модулей" также верно, что

a ¯ a b ¯ b = c ¯ c = a b (¯ ¯¯¯ ¯ a b)

$a\bar{a}b\bar{b}=c\bar{c}=ab(\overline{ab})$ Для алгебраического сопряжения, также как для кватернионов, алгебраическое сопряжения произведения переставляет местами аргументы:

¯ ¯¯¯ ¯ a b = ¯ b ¯ a

$\overline{ab}=\bar{b}\bar{a}$ Второе сопряжение, присутствующее в алгебре кокватернионов - векторное. Векторное сопряжение образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах, в образовании которых участвуют единицы с некоммутативным умножением. В кокватернионах это, также как и в кватернионах, все три единицы:

˜ x = x_{0} - I i x_{1} - I j x_{2} - k x_{3}

$\widetilde{x}=x_0-Iix_1-Ijx_2-kx_3$ Также, как и в кватернионах, в кокватернионах векторное и алгебраическое сопряжения совпадают по результату, хотя происходят по совершенно разным причинам. Векторное сопряжение в кокватернионах имеет те же свойства что и алгебраическое.

И третье сопряжение, присутствующее в алгебре кокватернионов - скалярное. Скалярное сопряжение образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах, в образовании которых участвует единица

I

$I$ , умножающаяся коммутативно:

x^{*} = x_{0} - I i x_{1} - I j x_{2} + k x_{3}

$x^* = x_0-Iix_1-Ijx_2+kx_3$ Если алгебраическое и векторное сопряжения перестановочны при сопряжении произведения, то скалярное нет:

(a b)^{*} = a^{*} b^{*}

$(ab)^*=a^*b^*$ Поскольку для кокватернионов алгебраическое и векторное сопряжения совпадают, то если оставаться в рамках алгебры кокватернионов, то их можно заменять друг на друга:

˜ x = ¯ x

$\widetilde{x}=\bar{x}$ И, поскольку векторное и скалярное сопряжения независимы, можно использовать их одновременно:

{¯ x}^{*} = x_{0} + I i x_{1} + I j x_{2} - k x_{3}

$\bar{x}^*=x_0+Iix_1+Ijx_2-kx_3$ Поскольку в такое составное сопряжение один рах входит векторное, то оно также перестановочно:

(¯ ¯¯¯ ¯ a b)^{*} = {¯ b}^{*} {¯ a}^{*}

$(\overline{ab})^*=\bar{b}^*\bar{a}^*$ Все три сопряжения, очевидно, при повторном применении возвращают исходный кокватернион.

¯ ¯ x = x

$\bar{\bar{x}}=x$

x^{* *} = x

$x^{**}=x$ И, что немаловажно, условный квадрат модуля сопряженных равен той же величине исходного кокватерниона:

| ¯ x |^{2} = | x^{*} |^{2} = | x |^{2}

$|\bar{x}|^2=|x^*|^2=|x|^2$

The Dark August

понедельник, 14 августа 2023 г.

Сопряжения кокватернионов

Комментариев нет:

Отправить комментарий

понедельник, 14 августа 2023 г.

Сопряжения кокватернионов

Комментариев нет:

Отправить комментарий

понедельник, 14 августа 2023 г.