Сопряжения сплит-октав

Какие бывают сопряжения в сплит-октавах? Попробуем разобраться.

Алгебраическое сопряжение в сплит-октавах есть смена знаков у всех мнимых единиц, а именно если сплит-октава представлена суммой скалярной (действительной) и векторной (мнимой) частей $$ x=x_s+x_v $$ то алгебраическое сопряжение есть $$ \bar{x}=x_s-x_v $$ Смысл алгебраического сопряжения в том, чтобы получить такое число $\bar{x}$, чтобы произведение $x\bar{x}$ давало квадрат модуля, действительную величину. В этом отношении алгебраическое сопряжение в сплит-октавах такое же как в октавах, кватернионах и кокватернионах. Для него также выполняется правило перестановочности: $$ \overline{xy}=\bar{y}\;\bar{x} $$ Векторное сопряжение в сплит-октавах линейно и выполняется сменой знаков у компонент, в образовании которых участвуют мнимые единицы, умножающиеся некоммутативно. А в сплит-октавах это все мнимые единицы. Теким образом, векторное сопряжение есть $$ \widetilde{x}=x_s-x_v $$ И оно имеет те же свойства, что и алгебраическое, поскольку по результату полностью с ним совпадает: $$ \widetilde{xy}=\widetilde{y}\widetilde{x} $$ Скалярное сопряжение образуется сменой знаков у компонент, в образовании мнимых единиц которых участвует единица $I$, а именно: $$ x^*=x_0-Iix_1-Ijx_2+kx_3+e_4x_4-Ie_5x_5-Ie_6x_6+e_7x_7 $$ Скалярное сопряжение неперестановочно: $$ (xy)^*=x^*y^* $$ Для сопряжений сплит-октав сохраняется квадрат модуля: $$ |x|^2=|\bar{x}|^2=|\widetilde{x}|^2=|x^*|^2 $$