Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

вторник, 15 августа 2023 г.

Произведения кокватернионов

Какие есть произведения в алгебре кокватернионов и как они выглядят? Попробуем разобраться.

Скалярнгое, псевдоскалярное и векторное произведения, несмотря на кажущиеся различия между собой, не являются отдельными произведениями из ряда, который можно дополнять неограниченно. Это часть одного взаимного отношения. А именно, если есть два гиперкомплексных числа x и y, то их взаимное отношение есть алгебраическое произведение xˉy Здесь ˉy - алгебраическое сопряжение. И скалярное, псевдоскалярное и векторное произвдения есть отдельные компоненты такого произведения.

Скалярное произведение есть действительная часть взаимного отношения: Re(Scl(xˉy)) Псевдоскалярное произведение есть мнимая часть от скалярной части: Im(Scl(xˉy)) И векторное произведение есть векторная часть: Vec(xˉy) Поэтому раскроем произведение xˉy в компонентах, учитывая, что в них алгебраическое сопряжение для y=y0+Iiy1+Ijy2+ky3 равно: y=y0Iiy1Ijy2ky3 (x0+Iix1+Ijx2+kx3)(y=y0Iiy1Ijy2ky3)=x0y0x1y1x2y2+x3y3++Ii(x0y1+x1y0x2y3+x3y2)++Ij(x0y2+x1y3+x2y0x3y1)++k(x0y3+x1y1x2y1+x3y0) Теперь разберем это произведение на отдельные его части. Компонента при действительной единице есть скалярное произведение: x0y0x1y1x2y2+x3y3 Поскольку в алгебре кокватернионов нет отдельной мнимой единицы I, то в ней отсутствует псевдоскалярное произведение. И векторной части произведения взаимного отношения соответствует векторное произведение. Оно состоит из двух компонент при полярных единицах Ii и Ij и одной компоненты при аксиальной единице k. Ii(x0y1+x1y0x2y3+x3y2)++Ij(x0y2+x1y3+x2y0x3y1)++k(x0y3+x1y1x2y1+x3y0) При нулевых скалярных частях векторное произведение выглядит более знакомым образом: Ii(x3y2x2y3)++Ij(x1y3x3y1)++k(x1y1x2y1) В отличие от алгебры бикватернионов в кокватернионах мы не можем преобразовать полярный вектор в аксиальный и наоборот путем умножения на псевдоскалярную единицу, поскольку в кокватернионах (как и в кватернионах) её попросту нет.

Комментариев нет:

Отправить комментарий