Какие есть произведения в алгебре кокватернионов и как они выглядят? Попробуем разобраться.
Скалярнгое, псевдоскалярное и векторное произведения, несмотря на кажущиеся различия между собой, не являются отдельными произведениями из ряда, который можно дополнять неограниченно. Это часть одного взаимного отношения. А именно, если есть два гиперкомплексных числа x и y, то их взаимное отношение есть алгебраическое произведение
xˉy
Здесь ˉy - алгебраическое сопряжение. И скалярное, псевдоскалярное и векторное произвдения есть отдельные компоненты такого произведения.
Скалярное произведение есть действительная часть взаимного отношения:
Re(Scl(xˉy))
Псевдоскалярное произведение есть мнимая часть от скалярной части:
Im(Scl(xˉy))
И векторное произведение есть векторная часть:
Vec(xˉy)
Поэтому раскроем произведение xˉy в компонентах, учитывая, что в них алгебраическое сопряжение для
y=y0+Iiy1+Ijy2+ky3
равно:
y=y0−Iiy1−Ijy2−ky3
(x0+Iix1+Ijx2+kx3)⋅⋅(y=y0−Iiy1−Ijy2−ky3)=x0y0−x1y1−x2y2+x3y3++Ii(−x0y1+x1y0−x2y3+x3y2)++Ij(−x0y2+x1y3+x2y0−x3y1)++k(−x0y3+x1y1−x2y1+x3y0)
Теперь разберем это произведение на отдельные его части. Компонента при действительной единице есть скалярное произведение:
x0y0−x1y1−x2y2+x3y3
Поскольку в алгебре кокватернионов нет отдельной мнимой единицы I, то в ней отсутствует псевдоскалярное произведение.
И векторной части произведения взаимного отношения соответствует векторное произведение. Оно состоит из двух компонент при полярных единицах Ii и Ij и одной компоненты при аксиальной единице k.
Ii(−x0y1+x1y0−x2y3+x3y2)++Ij(−x0y2+x1y3+x2y0−x3y1)++k(−x0y3+x1y1−x2y1+x3y0)
При нулевых скалярных частях векторное произведение выглядит более знакомым образом:
Ii(x3y2−x2y3)++Ij(x1y3−x3y1)++k(x1y1−x2y1)
В отличие от алгебры бикватернионов в кокватернионах мы не можем преобразовать полярный вектор в аксиальный и наоборот путем умножения на псевдоскалярную единицу, поскольку в кокватернионах (как и в кватернионах) её попросту нет.
Комментариев нет:
Отправить комментарий