Добавляемые угловая скорость и ускорение

Преобразования Лоренца задают скорость и угол поворота при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом они некоммутативны по композиции и представляющие их операторы некомутативны по умножению. Что будет, если в них скорость и угол меняются во времени, то есть если присутствуют ускорение и угловая скорость? К чему приводит некоммутативность преобразований Лоренца, попробуем разобраться.

Положим, что рассматриваем преобразование Лоренца, применяемое к единице. $$x'=e^{\psi/2}1e^{\bar{\psi}^*/2}$$ Здесь для простоты устранен модуль преобразуемого вектора и угол поворота входязий в преобразования Лоренца. Это сделано таким образом, что можем представить любой единичный вектор пространства-времени как $$x=e^{\psi/2}1e^{\bar{\psi}^*/2}$$ То есть как результат преобразования единицы.

В силу свойств скалярно-векторного сопряжения угол поворота, входящий в $\psi$, сокращается и величина $\psi$ остается содержать лишь полярную часть: $$\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3$$ Конечно, нужно сделать оговорку, что исходный параметр $\psi$ вовсе не равен конечному параметру $\psi$ поскольку величины $$\begin{array}{c} \psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3 \\ \varphi=i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3 \end{array}$$ вообще говоря не коммутируют и $$e^{\psi+\varphi}\neq e^{\psi}e^{\varphi}$$ но мы предполагаем что важно не исходное значение, а то что получилось в результате выноса параметра поворота.

Итого, с точки зрения преобразований Лоренца любой вектор пространства-времени есть скаляр соответствующего модулю величиной и убегающий в сторону от некоего векторного центра со скоростью $$v/c=\mathrm{th}\psi$$ Учитывая что $\psi$ - вектор, эта величина задает еще и пространственное направление убегания. То есть, вообще говоря, линейная скорость разбегания зависит от расстояния между разбегающимися точками нелинейно, причем зависит еще и от времени. Впрочем, важно не это, а то, что в такой модели сокращается угол поворота и далее оперируем преобразованием Лоренца уже без него для сокращения незначимых для тематики вопроса обозначений. Поскольку угол сокращается, он может быть вообще говоря любым, просто далее нам важен не он, а лишь скорость $\psi$. Теперь предположим, что преобразование $\psi$ состоит из последовательности малых преобразований: $$e^{\psi}=e^{\Delta\psi_n}\ldots e^{\Delta\psi_2}e^{\Delta\psi_1}$$ Если все $\Delta\psi_i$ сонаправлены с $\psi$, то они коммутируют друг с другом и в этом случае $$e^{\psi}=e^{\Delta\psi_1+\Delta\psi_2+\ldots+\Delta\psi_n}$$ Теперь предположим, что мы задались вопросом количества таких $\Delta\psi_i$ и собственно их величин, насколько они большие. Положим, что их $n$. В этом случае при их равенстве по величине $$\psi=\sum\psi_i=n\psi/n = \psi$$ То есть итоговый результат в случае сонаправленности отдельных $\Delta\psi_i$ не зависит от величины $n$. И мы можем полагать, что рассматриваем произвольно малые $\Delta\psi_i$ в смысле произвольности выбора их малости.

Теперь предположим, что к использующейся конструкции $$e^{\psi/2}1e^{\bar{\psi}^*/2}$$ мы добавляем еще одно малое преобразование, и таким образом, чтобы $$e^{\psi'/2}=e^{\alpha/2\Delta t}e^{\psi/2}$$ И при этом величина $\Delta t$ во-первых является скаляром, задающим некий параметр и во-вторых задает степень малости. И в-третьих, что особенно важно, полагаем, что между $\alpha$ и $\psi$ уже нет строгой сонаправленности. Хотя в общем случае она и не запрещается.

Поскольку $\Delta t$ мало, мы можем полагать что ограничиваясь первым порядком малости выполняется равенство: $$e^{\alpha/2\Delta t} \approx 1+\alpha/2\Delta t$$ $$e^{\psi'/2}\approx (1+\alpha/2\Delta t)e^{\psi/2}$$ $$\Delta e^{\psi/2}=e^{\psi'/2}-e^{\psi/2}\approx \alpha/2\Delta t e^{\psi/2}$$ Если устремлять к бесконечно малой величине $\Delta t$, то $$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta e^{\psi/2}}{\Delta t}= \frac{\alpha}{2}e^{\psi/2}$$ Мы можем просто сократить на $\Delta t$, поскольку ранее было сделано предположение о малости этой величины при приближении экспоненты и поскольку это скаляр, и если используем в числителе лишь члены первого порядка малости и можем отбросить члены более высоких порядков.

Связь $\psi$ со скоростью через $$\mathrm{th}\psi=v/c$$ указывает, что полученная величина может быть выражена через скорость и ускорение как: $$\frac{d}{dt}e^{\mathrm{arth}(v/c)/2}= \frac{\alpha}{2}e^{\mathrm{arth}(v/c)/2}$$ Это выражение задает точную взаимосвязь между $\alpha$, $v$, $c$ и производной по времени. Если раскрыть выражение производной учитывая что имеем дело с некоммутативными переменными, то можем получить связь $\alpha$ как параметра преобразования с дифференциальным ускорением $dv/dt$ в дополнение к ранее полученной взаимосвязи $$\mathrm{th}\psi=v/c$$ между $\psi$ как параметром преобразования и $v$ как дифференциальной скорости, образующейся при применении этого преобразования.

Обычно, сталкиваясь с таким оцениванием, берут различные приближения.

Если сделать приближение малости скорости $$v\approx 0$$ то ранее полученное выражение упростится до $$\frac{d}{dt}\frac{v}{2c}=\frac{\alpha}{2}$$ То есть в случае движения при скоростях недалеких от состояния покоя $$\alpha = \frac{1}{c}\frac{d}{dt}v$$ или $$\frac{dv}{dt}=c\alpha$$ В действительности в выражение $v$ входит как полярный параметр $$\psi = Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3$$ так и аксиальный угол $$\varphi=i\varphi_5+j\varphi_6+k\varphi_7$$ Эти величины входят однородно в параметр преобразования Лоренца и фигурируют там совместно, вообще говоря. Соответственно, в ускорение $\alpha$ входит как линейное ускорение так и угловая скорость: $$\alpha=\frac{a}{c}+\omega$$ $$a=Iia_1+Ija_2+Ika_3$$ $$\omega=i\omega_5+j\omega_6+k\omega_7$$ Другим приближением может быть выбор $v/c \ll 1$. В этом случае выражение для производной скорости упрощается немного сложнее: $$\frac{d}{dt}\left( \frac{v}{2c}+\frac{\varphi}{2} \right)= \left(\frac{a}{2c}+\frac{\omega}{2}\right)\left(1+\frac{v}{2c}\right)$$ И при $v\approx 0$: $$\frac{d}{dt}\left( \frac{v}{2c}+\frac{\varphi}{2} \right)= \left(\frac{a}{2c}+\frac{\omega}{2}\right)$$ То есть при росте скорости ускорение отклоняется от Галилеева ускорения. Но величины $\alpha$ и $v$ ещё и некоммутативны, и этот факт, собственно говоря, и вызывает интерес.

Обратимся к правилу произведения мнимых единиц кватернионов. Пусть есть два мнимых кватерниона $$\begin{array}{c} x=ix_1+jx_2+kx_3 \\ y=iy_1+jy_2+ky_3 \end{array}$$ Их произведение: $$xy=-(x,y)+[x,y]$$ где $(x,y)$ - скалярное и $[x,y]$ - векторное произведение векторных частей кватернионов.

Здесь важно, что в мнимую часть добавляется векторное произведение.

Если рассматривать величину $\alpha$ как выраженную через ускорение в предположении незначительности скорости $v$, то довесок составит: $$\frac{\alpha v}{2c}=\frac{av}{2c^2}+\frac{\omega v}{2c}$$ Конечно, это очень грубая и поверхностная оценка, совмещающая выражение для $\alpha$ в предположении $v\approx 0$ и в предположении $v/c\ll 1$. Нужно повториться, что для точных оценок нужно использовать формулу с экспонентами и гиперболическим арктангенсом.

В выражение для $a$ и $v$ входят полярные части бикватернионов $$\begin{array}{c} a=Iia_1+Ija_2+Ika_3 \\ v=Iiv_1+Ijv_2+Jkv_3 \end{array}$$ поэтому их произведение привносит в мнимую часть результата аксиальный вектор: $$\frac{av}{2c^2}=-\frac{[a,v]}{2c^2}=\Delta\alpha$$ Это грубая оценка добавки в аксиальную часть, к получающейся угловой скорости. И точно так же произведение угловой скорости $\omega$ и линейной скорости $v$ $$\frac{\omega v}{2c}=\frac{I[\omega,v]}{2c}=\Delta \alpha$$ Это полярный вектор, эта часть добавляется к итоговому линейному ускорению.

Итог: если к имеющейся скорости $v$ применяется ускорение $a$, то появляется добавка к угловой скорости $\omega$. И если к имеющейся скорости $v$ применяется угловая скорость, то появляется добавка к ускорению. Описанная добавка к угловой скорости получила название прецессии Томаса.

В 1926 году Люэлин Томас предложил использовать этот кинематический эффект для описания наблюдаемых в эксперименте результатов спин-орбитального взаимодействия электронов в атоме. Им была использована оценка в малом по степеням $1/c^2$.

Из-за больших скоростей элементарных частиц именно в их области физики нашли подтверждение специальной теории относительности и части её кинематических эффектов.

И, если быть строго последовательными, то должно существовать и добавляемое ускорение порядка $$\frac{[\omega,v]}{2c}=\Delta\frac{a}{c}$$ если считать что отношение $v/c$ отлично от нуля но достаточно мало по сравнению с единицей.

И, конечно, еще одним вариантом оценивания прецессии Томаса и добавляемого ускорения будет попытка раскрыть исходное дифференциальное уравнение: $$\frac{d}{dt}e^{\mathrm{arth}(v/c)/2}= \frac{\alpha}{2}e^{\mathrm{arth}(v/c)/2}$$ Пока мы не умеем дифференцировать функции, даже экспоненту, с аргументом некоммутативной алгебры. Поэтому пока что остается сделать предположение о том, что ускорение $\alpha$ сонаправлено скорости $v$. И, соответственно, дифференциал скорости $dv$ также сонаправлен самой скорости $v$. Или по меньшей мере допустим что $dv$ и $v$ коммутируют. Пр итаком предположении уже можем взять производную: $$\frac{d}{dt}e^{\mathrm{arth}(v/c)/2}= e^{\mathrm{arth}(v/c)/2}\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\mathrm{arth}(v/c)$$ Это выражение, если раскрыть производную гиперболического арктангенса, равно $$e^{\mathrm{arth}(v/c)/2}\frac{1}{2} \frac{1}{1-v^2/c^2}\frac{dv}{cdt}$$ Сопоставив с исходным выражением и сделав соответствующие сокращения, получим оценку ускорения в сонаправленном случае при относительно небольших скоростях: $$\alpha = \frac{1}{1-v^2/c^2}\frac{a}{c}$$ Эту оценку иногда используют для оценивания $\alpha$ по величине. С учетом угловой скорости выражение для $\alpha$ принимает вид: $$\alpha \approx \frac{1}{1-v^2/c^2}\left(\frac{a}{c}+\omega\right)$$ Конечно, это вариант для $\omega$ также сонаправленной с $v$. К сожалению, это лишь предположительный вид. Дальше, конечно, можно применить второе предположение о малости $v/c$ по сравнению с единицей и установить величины прецессии и добавляемого ускорения. Но проблема в том, что эта третья оценка получена из предположения сонаправленности $dv$ и $v$.